K základom teórie pravdepodobnosti

Nasledovný text som si napísal v máji 2010 ako stručnú prípravu na scenár relácie "Nočná pyramída" Slovenského rozhlasu. Pri vysielaní sme sa však scenára skoro vôbec nedržali, a tak som zo svojej prípravy použil len málo. Tento text zverejňujem, lebo by možno bola škoda, keby na mojom harddisku iba zapadol prachom :)

Kto je zakladateľ teórie pravdepodobnosti a aké má miesto táto disciplína v matematike?

Prvé úvahy o pravdepodobnosti začali ľudia rozvíjať už veľmi dávno, minimálne odkedy hrávajú hazardné hry. Pokiaľ viem, tak prvé uchované zmienky o matematickom prístupe k pravdepodobnosti, tiež v súvislosti s hazardnými hrami, možno nájsť v korešpondencii medzi Fermatom a Pascalom  okolo polovice 17. storočia. Fermata možno poznajú poslucháči v súvislosti so slávnou veľkou Fermatovou vetou a Pascala v súvislosti s Pascalovým trojuholníkom, alebo Pascalovým zákonom.

K teórii pravdepodobnosti výrazne prispeli na začiatku 18. storočia Abraham de Moivre, ktorý ako prvý študoval Gaussovo rozdelenie pravdepodobnosti a Jacob Bernoulli, ktorý ako prvý v istej forme formuloval zákon veľkých čísiel.  V súčasnosti používané matematické axiómy pravdepodobnosti vybudoval až v 30-tych rokoch 20. storočia Andrej Kolmogorov. V porovnaní s ostatnými matematickými disciplínami je teória pravdepodobnosti relatívne mladá.

Teória pravdepodobnosti je jednou z najdôležitejších oblastí matematiky, obzvlášť kvôli tomu, že tvorí matematický základ štatistiky. Pravdepodobnosť je časťou teórie miery, ale nejakým spôsobom súvisí s prakticky všetkými matematickými disciplínami.

Základné zákony teórie pravdepodobnosti...

Existuje veľmi presná matematická charakterizácia zákonov teórie pravdepodobnosti, ktorá zahŕňa viacero možných interpretácií pravdepodobnosti. Niektoré z týchto zákonov sú veľmi formálne, alebo založené skôr na dohode ako nutnosti, napríklad ten, že pravdepodobnosť meriame číslami medzi nulou a jednotkou, pričom pravdepodobnosť jedna znamená, že daná udalosť nastane s istotou. Najdôležitejší z týchto zákonov, zákon aditivity pravdepodobnosti, je možné vysvetliť aj neformálne. Hovorí, že pravdepodobnosť nastatia jednej udalosti spomedzi navzájom sa vylučujúcich udalostí musí byť rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí.

Zoberme si napríklad hádzanie falošnou kockou. Nech by bola táto kocka akokoľvek nevyvážená, tak musí platiť, že pravdepodobnosť, že padne nejaké párne číslo, je rovná pravdepodobnosti, že padne dvojka, plus pravdepodobnosť, že padne štvorka, plus pravdepodobnosť, že padne šestka. Môže sa to zdať samozrejmé, ale veľa matematických zákonov je vlastne úplne samozrejmých, keď si ich človek trochu premyslí. Inak, je zaujímavé si uvedomiť, že matematik používa na narábanie s pravdepodobnosťou v podstate taký istý aparát ako na narábanie s plochami rovinných útvarov. Aditivita plochy znamená, že ak by sme nejaký útvar rozkrájali na kúsky, tak plocha pôvodného útvaru je rovná súčtu plôšok vzniknutých kúskov.

Ako môže vôbec existovať náhoda vo svete, kde platia prírodné deterministické zákony?

Náš svet je, zdá sa, zvláštnou kombináciou determinizmu a náhodnosti. Najhlbšie zákony sveta, ktoré poznáme, to znamená zákony kvantovej mechaniky, sú síce deterministické, ale deterministicky popisujú práve náhodnosť. Tieto zákony nevedia presne predpovedať čo sa stane, ale vedia v princípe presne predpovedať s akou pravdepodobnosťou sa čo stane.

Na našej makroúrovni sa síce dajú formulovať fyzikálne zákony, ktoré zdanlivo úplne jednoznačne určujú čo sa stane v budúcnosti, ale je to naozaj iba zdanlivé. Aj maličké náhodné odchýlky na mikroúrovni sa postupom času môžu zosilňovať a spôsobiť divergenciu makroskopických dejov; ide o známy efekt motýlích krídel. Takouto divergenciou dejov sa zaoberá matematická teória chaosu a dynamických systémov.

Okrem toho, zrejme aj ak by bol náš svet vo svojej podstate úplne deterministický, mala by teória pravdepodobnosti svoje opodstatnenie, pretože pravdepodobnosť môžeme použiť ako model miery našej vedomosti o javoch budúcich, ale aj o javoch minulých. Pravdepodobnosť logicky konzistentne špecifikuje ako sa mení naša miera nevedomosti pri postupnom získavaní informácie. Tomuto pohľadu na pravdepodobnosť má blízko takzvaná Bayesovská štatistika.

Načo sa táto oblasť matematiky využíva v praxi? Jej vzťahy k štatistike...

Teória pravdepodobnosti sa využíva v rôznych situáciách, napríklad na stanovenie toho, aké pravidlá lotérie zabezpečujú zisk prevádzkovateľovi, v poistnej matematike na určenie výšky poistného, v systémoch hromadnej obsluhy s cieľom povedzme zabezpečiť plynulosť prevádzky, pri určovaní spoľahlivosti systémov zložených z nespoľahlivých súčastí, alebo aj vo finančnej matematike na modelovanie vývoja rôznych ekonomických ukazovateľov a na oceňovanie finančných derivátov.

Pravdepodobnosť sa tiež vyskytuje v základoch teórie informácie a kódovania, preto je dôležitá aj pre počítačové vedy. Napríklad vyhľadávače na internete - internetový gigant Google používa na stanovenie hodnotenia stránok, takzvaný markovovský reťazec, čo je model patriaci do teórie pravdepodobnosti. Alebo ešte jeden príklad - väčšina z nás sa denne stretáva s nevyžiadanou elektronickou poštou, takzvaným spamom. No a na filtrovanie spamov sa používajú programy založené na teórii pravdepodobnosti, na takzvanom Bayesovom vzorci.

Ale najväčšie uplatnenie pravdepodobnosti je, že tvorí matematický základ štatistiky, čo je vlastne, veľmi zostručnene povedané, získavanie dôležitej informácie v podmienkach neurčitosti. Pravdepodobnosť možno chápať ako nástroj na modelovanie reálnych dejov s prvkami náhodnosti, ktorý nám umožňuje matematicky presne zdôvodniť používanie štatistických procedúr.

Aplikácie štatistiky môžeme nájsť na každom kroku; spomeniem napríklad testovanie účinnosti liečiv a vyhodnocovanie prieskumov verejnej mienky. Značná časť vedeckého výskumu, prakticky každý výskum, ktorý sa zakladá na experimentoch a modelovaní dejov s prvkami neurčitosti, používa matematickú štatistiku a sprostredkovane teóriu pravdepodobnosti. Od štatistickej mechaniky vo fyzike, až po experimentálnu psychológiu.

Vzťah medzi matematikou a logikou; v akom vzťahu sú tieto dve formálne vedy?

Matematici logiku neustále používajú, ale nie veľmi často sa nad samotnou logikou zamýšľajú. Logika je pre matematika niečo ako pravidlá hry, podobne ako v šachu (hoci na rozdiel od pravidiel šachu, iné "pravidlá matematiky", čiže inú matematickú logiku, si neviem celkom dobre predstaviť). Šachisti pravidlá vyčerpávajúco ovládajú, ale explicitne sa nad nimi nezamýšľajú; skôr sa snažia hľadať v rámci pravidiel šachové kombinácie. Napriek tomu, že pravidlá šachu aj pravidlá logiky sú jednoduché, tak existuje skoro nekonečne veľa možných prípustných šachových kombinácií a, analogicky, platných odvodení matematických tvrdení.

Možno by sa táto metafora dala potiahnuť aj trochu ďalej. Práve kvôli prísnym pravidlám nie sú v šachu prakticky nikdy spory, kto vyhral, a ani v matematike nie sú skoro nikdy spory, či je dané matematické odvodenie platné. To odlišuje matematiku od ostatných vied. Matematika prakticky nikdy neprehodnocuje to, k čomu v minulosti dospela; keď sa raz nejaké matematické tvrdenie dokáže, tak už je pravdivé navždy. (To tvrdenie bolo samozrejme pravdivé aj kedykoľvek predtým, len my sme o ňom nevedeli, alebo sme ho možno tušili, len sme si neboli úplne istí, že platí. Matematika je ako objavovanie a mapovanie fascinujúcej neznámej krajiny, ktorá existuje nezávisle na nás.) Preto sú "Euklidove základy" rovinnej geometrie úplne bez zmeny platné aj dnes po 2300 rokoch, hoci samozrejme metódy výkladu sa zmenili. A preto je v matematike, najmä v takzvanej "čistej" matematike, dnes už veľmi ťažké objavovať principiálne nové tvrdenia, ktoré by boli zaujímavé pre viac ako hŕstku špecialistov a ktoré by sa dali stručne a jasne opísať v bežnom jazyku.

Čo je pre matematika možné, čo nemožné, čo pravdepodobné a čo skutočné?

Povedal by som, že pre matematika nie je skoro nič úplne nemožné s výnimkou logicky sporných vecí, ako napríklad, že niečo existuje a súčasne neexistuje. To je možno trochu iná odpoveď, akú by ste dostali od fyzika; ten by možno povedal, že nemožné je cestovať rýchlosťou vyššou ako je rýchlosť svetla. To je síce v našom vesmíre pravda, naša fyzika to neumožňuje, ale pre matematika to principiálne nemožné nie je, lebo matematika, zdá sa, je v schopná popísať aj iný vesmír ako je ten náš.

No, predsa len sa mi ako matematikovi niektoré veci zdajú nemožné. Zdá sa mi, že je principiálne nemožné, aby existoval vesmír bez matematických objektov, aj tých najzložitejších. Ak je niekde vo vesmíre nejaká technicky veľmi vyspelá civilizácia, som si istý, že v nejakej forme pozná číslo pí, Riemannovu zeta funkciu, alebo aj ohromne komplikovaný matematický objekt s názvom "Monštrum".

Prečo sa javy vo svete dajú matematicky modelovať, prečo je možná matematizácia?

Toto je veľmi ťažká otázka, nad ktorou sa už ľudia zamýšľajú dlho, ale odpoveď nám zatiaľ uniká. Môžeme len konštatovať, že je to skrátka tak, že matematika sa ukázala ako mimoriadne účinný nástroj na popis nášho sveta. Dokonca pre fundamentálne fyzikálne teórie, akou je napríklad kvantová mechanika, by sme si bez matematiky nevedeli vôbec pomôcť, pretože kvantové javy sa vzpierajú našim predstavám a intuícii. Na prekvapenie, pre matematiku nie je popis týchto javov problém.

Zaujímavé je uvedomiť si nielen to, že fyzika (a teda značná časť celej vedy) sa zakladá na matematických postupoch, ale aj to, že naše pochopenie matematiky je fyzikou umožnené. Dá sa povedať, že náš vesmír má potenciál spoznávať sám seba. Matematika je v nejakom veľmi hlbokom zmysle súčasťou nášho sveta a zdá sa, že tvorí s fyzikou neoddeliteľný celok. Dovolím si tvrdiť, že žiadny človek tomuto vzťahu matematiky a fyziky zatiaľ dokonale neporozumel...

Ťažisko rezu

Metóda "alias" používaná na simulačné generovanie diskrétnych náhodných premenných sa opiera o vetu, ktorej špeciálny prípad je možné pekne geometricky interpretovať:

Akýkoľvek bod C vo vnútri štvorstena je ťažiskom nejakého trojuholníka, ktorého vrcholy ležia na hranách tohto štvorstena.

Vedeli by ste túto vetu dokázať? Napadajú Vás nejaké zovšeobecnenia tejto vety?

(Ospravedlňujem sa všetkým riešiteľom, ktorí sa trápili s pôvodnou nesprávnou formuláciou vety.)

Glimpse into the hyperspace

... tak som nazval sériu obrázkov vygenerovaných krátkym programíkom v jazyku R, ktorého základnou myšlienkou je priemet špeciálnych kriviek v mnohorozmernom priestore do zvoleného dvojrozmerného podpriestoru. Sám som bol prekvapený, aké rôznorodé útvary je možné takouto technikou vytvoriť. Na YouTube som uploadol detailné video, ktoré si v nižšom rozlíšení môžete pozrieť aj tu:



Ak by mal niekto z Vás záujem implementovať program na vytváranie takýchto obrázkov ako samostatnú aplikáciu, zastavte sa za mnou a rád Vám použitý matematický princíp vysvetlím podrobnejšie.

Exponenciálna funkcia v komplexnej rovine

Nasledovné video je animáciou funkcie


pričom t je čas v rozmedzí 0 až 2π. Všimnite si, že pre t=0 máme obyčajnú komplexnú exponenciálnu funkciu, zatiaľčo pre t=π sa jedná o funkciu exp(1/z), keďže exp(iπ)=-1.



Farbu som pre toto video volil tak, že reálna zložka zodpovedá "dimenzii h", čiže hue a komplexná zložka "dimenzii s", čiže saturation, v hsv parametrizácii farieb.

Geomag

Konštrukčná sada Geomag nie je lacný špás, ale čo by už človek nekúpil svojej jedinej dcérke, všakže. Základom Geomagu sú oceľové guličky a magnety v podobe tyčiniek, ktorých spájaním je možné vyrobiť množstvo priestorových modelov, napríklad základných trojrozmerných telies. Agátkina sada obsahuje okrem guličiek a tyčiniek aj farebné "výplne" v tvare rovnostranného trojuholníka, štvorca, kosoštvorca a pravidelného päťuholníka, ktoré je možné použiť na spevnenie, alebo skrášlenie vzniknutých konštrukcií.

Zoo konvexných priestorových telies, ktoré majú všetky hrany rovnakej dĺžky a ktorých steny sú pravidelné n-uholníky, môžeme v zásade rozdeliť do piatich skupín: platónske telesá, archimedovské telesá, prizmy, antiprizmy a Johnsonove telesá. Na nasledovnom obrázku sú znázornené štyri Johnsonove telesá poskladané z Geomagu (kliknutím sa obrázok zväčší).


Konkrétne, na fotografiách sú augmented tridiminished icosahedron (vľavo hore), square gyrobicupola (vpravo hore), biaugmented pentagonal prism (vľavo dole) a bilunabirotunda (vpravo dole). Samozrejme, na zložitejšie telesá by sme potrebovali oveľa viac ako 31 tyčiniek a 24 guličiek, ktoré obsahuje naša sada. Vytrínový kúsok by mohol byť napríklad taký Parabigyrate Rhombicosidodecahedron.

Na koniec tohto príspevku ešte jedna oddychová úloha, ktorá je inšpirovaná tabuľkou v dolnej časti stránky mathworldu o Johnsonovych telesách.

Konvexné trojrozmerné teleso má n₃+n₄+n₅ stien, z toho n₃ trojuholníkových, n₄ štvorcových a n₅ päťuholníkových. Koľko má toto teleso vrcholov?

Banachov-Tarskeho paradox: časť 3: baby

Samotný Banachov-Tarskeho paradox nie je vôbec jednoduché dokázať, pretože pozostáva z pomerne veľkého počtu krokov. Avšak existujú aj také tvrdenia, ktoré v sebe obsahujú podobný kolaps intuície ako Banachov-Tarskeho paradox, no ich formálny dôkaz je relatívne krátky. Tieto tvrdenia sa nazývajú "baby Banach-Tarski" a my si teraz jedno takéto baby ukážeme.

Povieme, že reálne čísla x a y z intervalu [0,1] sú "ekvivalentné", zapisujeme x~y, ak je rozdiel x-y racionálne číslo. Relácia "~" je takzvanou reláciou ekvivalencie, pretože platí a) x~x, b) ak x~y, tak y~x a c) ak súčasne x~y a y~z, tak aj x~z. Relácia ~ rozkladá interval [0,1] na disjunktné "triedy ekvivalencie", t.j. na množiny navzájom ekvivalentných čísiel.

Jednou z tých tried ekvivalencií je napríklad množina všetkých racionálnych čísiel v intervale [0,1]. Ak s je akékoľvek fixné iracionálne číslo, tak všetky tie čísla s+q z intervalu [0,1], pre ktoré je q racionálne číslo, tiež tvoria triedu ekvivalencie. Je zrejmé, že každá z týchto tried ekvivalencie je spočítateľná množina, ale samotný počet týchto tried je nespočítateľný.

Všimnite si, že už tento rozklad intervalu [0,1] na triedy ekvivalencie je dosť nenázorný. Príslušné triedy ekvivalencie sú navzájom úplne "prepletené"; napríklad platí, že pre každé číslo x v intervale (0,1) a pre ľubovoľné dostatočne malé kladné ε obsahuje intervalík (x-ε, x+ε) nekonečne veľa prvkov z každej jednej tejto triedy ekvivalencie.

Každopádne, na základe axiómy výberu vieme z každej z týchto tried ekvivalencie vybrať po jednom čísle. Množina pozostávajúca z práve jedného zástupcu z každej triedy ekvivalencie sa nazýva Vitaliho množina a my ju budeme označovať symbolom V. (Samozrejme, takýchto výberov existuje nekonečne veľa, čiže aj Vitaliho množín je v zmysle našej definície nekončene veľa. My však budeme pracovať s jednou fixnou Vitaliho množinou V.)

Označme množinu racionálnych čísiel Q a množinu racionálnych čísiel v intervale [0,1] ako Q[0,1]. Keďže množiny Q[0,1] a Q sú obe nekonečné spočítateľné, tak existuje bijektívne zobrazenie f medzi množinami Q[0,1] a Q. To znamená, že pre každé racionálne číslo q existuje práve jedno racionálne číslo r z intervalu [0,1], pre ktoré platí f(r)=q.

Uvažujme nasledovné dva spočítateľné systémy množín.


Ľahko si dokážete platnosť nasledovných tvrdení.

1) Ako systém A, tak aj systém B pozostáva z navzájom disjunktných množín.
2) Každá množina zo systému A je podmnožinou intervalu [0,2].
3) Množiny systému B sú len posunutím množín systému A.
4) Zjednotenie množín zo systému B je množina všetkých reálnych čísiel.

Čiže, voľne povedané, množiny V+r, kde r je z Q[0,1], sa navzájom nijako neprekrývajú a všetky spoločne okupujú len istú časť intervalu [0,2]. No napriek tomu je ich možné poposúvať tak, že kompletne pokryjú celú reálnu priamku!

Ako je takéto niečo možné? Základom všetkých podobných paradoxov je existencia "nemerateľných množín", t.j. množín, ktorým principiálne nevieme priradiť "úhrnnú dĺžku" (v prípade štandardného Banachovho-Tarskeho paradoxu sa jedná o množiny, ktorým nie je možné nijako konzistentne priradiť "celkový objem"). V našom prípade je nemerateľnou množinu práve Vitaliho množina.

Banachov-Tarskeho paradox: časť 1: formulácia

Toto je prvý v sérii príspevkov, ktorými sa pokúsim ozrejmiť Banachov-Tarskeho paradox, ako som kedysi sľúbil. Čiastočne sa pritom budem držať knihy Leonarda Wapnera "The Pea and the Sun". Na začiatok úplne postačí, keď sa nám podarí pochopiť presné znenie tohoto paradoxu. Potrebujeme k tomu niekoľko matematických definícií na úrovni obtiažnosti nepresahujúcej prvý ročník na matfyze.

Nech Eⁿ je Euklidovský priestor, napríklad priamka (pre n=1), rovina (pre n=2), alebo klasický trojrozmerný priestor (pre n=3). Nech v je vektor v Eⁿ a nech U je matica rotácie typu nxn. Zobrazenie f, ktoré priradí každému bodu x v Eⁿ bod x+v, nazveme translácia (posun) a zobrazenie g, ktoré priradí každému bodu x v Eⁿ bod Ux nazveme rotácia (pootočenie). Ľahko si uvedomíme, že rotáciou v E¹ je len jediné zobrazenie a to identické. Každú rotáciu v E² si môžeme predstaviť ako pootočenie okolo bodu (0,0) a každú rotáciu v E³ si môžeme predstaviť ako pootočenie okolo nejakej priamky prechádzajúcej bodom (0,0,0).

Nech f je posun o vektor v, nech g je rotácia definovaná maticou rotácie U a nech M je nejaká množina v Eⁿ. Transláciou f množiny M nazveme množinu všetkých bodov tvaru x+v, kde x je bod z M a rotáciou množiny M nazveme množinu všetkých bodov tvaru Ux, kde x je bod z M. Ako príklad som na nasledovnom obrázku načrtol modrým transláciu f(M) zelenej množiny M o vektor (2,1) a ružovým rotáciu g(M) množiny M o uhol α=π/4 (t.j. o 45 stupňov).


Rozkladom množiny M nazývame každý systém M₁,...,M_k navzájom disjunktných podmnožín množiny M, ktorých zjednotenie je M. Dve množiny A a B v priestore Eⁿ nazveme zhodne rozložiteľné, ak existuje rozklad A₁,...,A_k množiny A a rozklad B₁,...,B_k množiny B tak, že pre každé i=1,...,k je množina B_i zrotovaná a posunutá množina A_i, t.j. existujú translácie f₁,...,f_k priestoru Eⁿ a rotácie g1,...,gn priestoru Eⁿ, že pre všetky i=1,...,n platí B_i=f(g(A_i)). To, že sú množiny A a B zhodne rozložiteľné, označíme A~B.

Čiže, veľmi voľne povedané, A~B znamená, že A je možné rozbiť na kúsky, z ktorých len posunutím a zrotovaním môžeme poskladať B. Ako príklad som načrtol obrázok dokazujúci A~B pre pravouhlý rovnoramenný trojuholník A (bez jednej odvesny) a štvorec B (bez jednej strany) s rovnakým obsahom ako má A.

Pripomeňme ešte, že pod pojmom guľa v E³ s polomerom r a stredom v bode P rozumieme množinu tých bodov E³, ktorých vzdialenosť od P je menšia, alebo rovná r.

Znenie Banachovho-Tarskeho paradoxu (vo formulácii nazývanej ''pea and the Sun''): Akékoľvek dve gule v E³, nie nutne s rovnakým polomerom, sú zhodne rozložiteľné.


Banachov-Tarskeho paradox je teda (dokázateľne platné) matematické tvrdenie že, voľne povedané, akúkoľvek malú trojrozmernú guľu vieme rozbiť na konečný počet podmnožín, z ktorých len pootočením a posunutím vieme poskladať (plnú) guľu s akokoľvek veľkým polomerom. Vaše prípadné nejasnosti a námietky napíšte do komentárov a ja sa Vám ich pokúsim vysvetliť resp. odmietnuť :)

Komplexné korene polynómov

Popis obrázka: Podľa takzvanej "základnej vety algebry" má každý polynóm stupňa n≥1 práve n komplexných koreňov (z ktorých niektoré môžu byť viacnásobné). Na obrázku je znázornená množina komplexných koreňov polynómov tvaru a₀+a₁z+a₂z²+...+a_nzⁿ, kde n=30 a koeficienty a_i sú buď +1, alebo -1. (Aby som sa priznal, inšpiráciou pre tento obrázok mi bola veľmi podobná ilustrácia, ktorá visí na chodbe v Cardiff School of Mathematics :-)

Vyhodnotenie ankety 'O čom by ste chceli príspevok'

Som príjemne prekvapený, že na prvom mieste skončil Banachov-Tarskeho paradox, čo je síce enormne zaujímavá, no nie až taká populárna téma. Jedna z mnohých formulácií tohoto paradoxu je takáto: existuje rozklad (rozbitie) gule s polomerom 1 na konečne veľa podmnožín, z ktorých sa len rotáciou a posunutím dajú poskladať dve (plné) gule, obe opäť s polomerom 1. Ako je to možné? Dopočul som sa, že už ku mne cestuje kniha "The Pea and the Sun", takže sa máme na čo tešiť.

Tiež si postupne pripravím príspevok o umelých neurónových sieťach, hoci na túto problematiku sú u nás na matfyze iní machri. Keďže toto je extrémne široká oblasť, vyberiem si z nej asi len nejakú malú špeciálnu podoblasť, ktorá má bližšie k mojej špecializácii. Možno podiskutujeme o starých a relatívne jednoduchých, ale metodologicky stále základných "dopredných" sieťach.

Do tretice, rád napíšem príspevok o výhodách a nevýhodách simulovaného žíhania, čo je populárna metóda na optimalizáciu mnohorozmerných funkcií. A možno bude aj video z akadémie trojstenu :-)

Poznámka 23.2.: Ukazuje sa, že letný semester budem mať obzvlášť nabitý, takže tieto článočky vidím tak na jún. Stay tuned. :)

Ako inteligentný je najinteligentnejší Slovák?

V poslednej dobe je toto už tretí príspevok týkajúci sa inteligenčného kvocientu. Dôvod, prečo mi táto téma chodí v súčasnosti viac po rozume, je úplne prozaický: normálne rozdelenie hodnôt IQ v populácií predstavuje výborný námet na pravdepodobnostné úlohy, ktoré nie sú ani príliš triviálne, ani príliš komplikované, skrátka veľmi vhodné pre študentov na skúšky :-) Takou úlohou je aj nasledovná:

Odhadnite, aké je IQ najinteligentnejšieho človeka v skupine n nezávisle náhodne vybratých ľudí. Napríklad: V akom rozmedzí možno čakať IQ najinteligentnejšieho Slováka?

Pomocou základných metód teórie pravdepodobnosti a matematickej analýzy sa dá ukázať, že 100p-percentný kvantil maxima n nezávislých náhodných premenných s normálnym rozdelením so strednou hodnotou 100 a smerodajnou odchýlkou 15 je približne


kde Φ^-1 je kvantilová funkcia štandardizovaného normálneho rozdelenia. Dobrú predstavu o hodnotách maximálneho IQ v populácii n nezávisle náhodne vybratých ľudí si môžeme vytvoriť na základe 5-percentného kvantilu, 50-percentného kvantilu (t.j. mediánu) a 95-percentného kvantilu. Graf týchto kvantilov (presnejšie, graf ich aproximácií Q(0,05), Q(0,5) a Q(0,95)) v závislosti na n je nasledovný:


Z grafu je možné vyčítať napríklad to, že pre 5 miliónov ľudí, čo zodpovedá zhruba počtu obyvateľov Slovenska, je 5-, 50- a 95-percentný kvantil pre maximum IQ rovný približne 173, 177, resp. 184. Voľne povedané, na 50 percent možno očakávať, že najinteligentnejší Slovák má IQ väčšie ako 177 a na 90 percent sa dá očakávať, že jeho IQ je v rozmedzí 173 až 184. Celkom dosť, čo poviete? Len aby nám aj on neubzikol do zahraničia.

Poznámka: Samozrejme všetky podobné úvahy a výpočty sú založené na zjednodušeniach (dal by sa spochybniť napríklad predpoklad nezávislosti, rozdelenie hodnôt IQ môže byť trochu odlišné pre rôzne skupiny ľudí a to ani nehovorím o tom, že samotný pojem číselne meraného IQ je diskutabilný.) Ale vo vede sa nemôžeme báť určitých zjednodušení, pretože by sme sa nikam nedostali. Nakoniec, ako povedal Karl Popper: “Science may be described as the art of systematic oversimplification.”

Oktily a Vaše IQ

Update: 25.1.2008 - výsledky ankety na konci príspevku

Tí z Vás, ktorí nemáte záujem o malé vzdelanie sa v štatistickej terminológii a súčasne Vás štatistika nebaví, môžete v tomto príspevku skočiť hneď na (*). My ostatní sa najprv vzdeláme, alebo zabavíme.

Nech x'₁,...,x'_n označuje usporiadanie čísel x₁,...,x_n. Ako asi viete, mediánom súboru čísel x₁,...,x_n nazývame buď "prostrednú" hodnotu x'_(n+1)/2 (ak je n nepárne), alebo aritmetický priemer dvoch "prostredných" čísel x'_n/2 a x'_(n/2)+1 (ak je n párne). Okrem tejto trochu krkolomnej definície mediánu existuje aj definícia grafická, ktorá nám naviac umožňuje prirodzeným spôsobom zaviesť aj všeobecné kvantily - a ako špeciálny prípad kvartily a oktily.

Z dôvodu prehľadnosti zápisu označme číslo n-1 symbolom k. Zostrojme v rovine xy lomenú čiaru L spájajúcu body (x'₁,0), (x'₂,1/k), (x'₃,2/k), ..., (x'_n,1). Potom pre p z intervalu (0,1) dostaneme 100.p-percentný kvantil čísel x₁,...,x_n ako x-ovú súradnicu priesečníku priamky y=p s lomenou čiarou L.

Napríklad pre 6 čísel x₁,...,x₆ máme na priloženom obrázku znázornené ako skonštruovať 12,5-percentný kvantil (1.oktil), 25-percentný kvantil (2.oktil, alebo 1.kvartil), 37,5-percentný kvantil (3.oktil), 50-percentný kvantil (4.oktil, alebo 2.kvartil, alebo median :-), 67,5-percentný kvantil (5.oktil), 75-percentný kvantil (6.oktil, alebo 3.kvartil) a 87,5-percentný kvantil (7.oktil). (Uf, "37,5". alebo "87,5" sú také škaredé čísla; o čo krajšie by sa definovali oktily, keby nás evolúcia obdarila štyrmi prstami na každej ruke :-)

(*) Takže 7 oktilov nám delí skupinu čísel usporiadaných od najmenšej hodnoty po najväčšiu na 8 približne rovnako veľkých skupín. Ak by sme mali napríklad skupinu 80 rôznych čísel, tak z definície oktilov je zrejmé, že 10 z týchto čísel musí byť menších ako 1.oktil, 10 čísel musí byť medzi 1.oktilom a 2.oktilom, 10 čísel medzi 2.oktilom a 3.oktilom a tak ďalej.

V súlade s definíciou oktilov som položil nasledovnú anketovú otázku: Pokúste sa intuitívne odhadnúť, v akom rozmedzí je Vaše IQ spomedzi všetkých, ktorí sa zúčastnili, alebo zúčastnia tejto ankety. Možnosti sú:

• Top IQ = Najinteligentnejších 12,5% spomedzi účastníkov tejto ankety
• 7 = Rozmedzie od 6. po 7.oktil IQ
• 6 = Rozmedzie od 5. po 6.oktil IQ
• 5 = Rozmedzie od 4. po 5.oktil IQ
• 4 = Rozmedzie od 3. po 4.oktil IQ
• 3 = Rozmedzie od 2. po 3.oktil IQ
• 2 = Rozmedzie od 1. po 2.oktil IQ
• Bottom IQ = 12,5% najmenej inteligentných spomedzi účastníkov tejto ankety

Finta je samozrejme v tom, že ak by všetkých 40 účastníkov ankety odhadlo svoju pozíciu v rebríčku IQ správne, tak by každá kategória nutne musela obsahovať rovnaký počet odpovedí, t.j. 5. (Predpokladáme, že každý účastník ankety má inú hodnotu IQ; prípadné zhody by situáciu iba trochu zamotali.) Výsledok bol nasledovný:



Ako vidíme, do kategórie TopIQ sa zaradilo 15 ľudí, z ktorých sa teda minimálne 10 precenilo. Do hornej polovice tabuľky (kategória 5 a vyššie) sa zaradilo 35 ľudí, z ktorých aspoň 15 v skutočnosti patrí do dolnej polovice tabuľky. V najvyšších dvoch kategóriách je pritom 22 ľudí, z ktorých sa aspoň 12 precenilo a pritom minimálne dvaja precenili pozíciu svojho IQ veľmi výrazne, pretože v skutočnosti patria do dolnej polovice tabuľky :-) Z tejto ankety samozrejme nemôžeme povedať kto konkrétne sa precenil, ale s istotou môžeme tvrdiť, že veľa ľudí má tendenciu posudzovať svoje inteligenčné schopnosti veľmi nekriticky.

Rotácia telies

Na prednáške sme sa dnes rozprávali o rotáciách telies, čo ma inšpirovalo k napísaniu programíku, ktorý rotuje množinu trojrozmerných bodov. Použil som nasledovnú primitívnu metódu.

Zostrojíme matice R_x(α) , R_y(β), R_z(γ), zodpovedajúce rotáciám "okolo" jednotlivých osí o uhly α, β, γ - pozri vzorce (4), (5), (6) na tejto stránke mathworldu.

Trojrozmerná rotácia zobrazená na i-tom frame animácie zodpovedá ortogonálnej matici

V_i= R_x(α)ⁱ R_y(β)ⁱ R_z(γ)ⁱ.

Ak vhodne volíme počet framov a uhly α, β, γ, tak sa nám teleso "otočí zo všetkých strán" a rotácia telesa sa naviac pekne uzavrie, takže animáciu môžeme pustiť v slučke. Ja som na vygenerovanie nasledovného obrázku volil 48 framov a

α=π/8, β=π/12, γ=π/24.

Ako množinu zrotovaných bodov som zobral body na povrchu dvoch zakliesnených tórusov (Pozri predchádzajúci post). Upozorňujem, že výsledný animovaný gif má 2MB (mal by sa spustiť kliknutím na obrázok).

Samozrejme, oveľa efektnejšie by bolo použiť väčší počet framov (súčasne menšie uhly α, β, γ), "plné" telesá a prepočítavať viditeľnosť atď, ale princíp uzatvorenej slučky rotácií je jasný aj na takomto jednoduchom obrázku.

Poznámka: Ak sa niekomu chce, mohol by skúsiť naprogramovať týmto spôsobom rotáciu tanečnice (alebo podobne zaujímavého objektu :). Očakávam, že ortogonálny (t.j. bez perspektívy) priemet akokoľvek komplikovanej rotácie by sa dal mentálne interpretovať dvomi spôsobmi, podobne ako v prípade slávnej tanečnice.

Vymyslené hádzanie

Predstavte si, že Vám zadám na domácu úlohu hodiť 120 krát mincou a zapísať si výsledky. Toľkokrát hodiť mincou je však poriadna otrava a každý normálny študent by sa určite rozhodol jednoducho si danú postupnosť vymyslieť. Mám nejakú šancu Váš podvod odhaliť?

Skúste si to. Buď si náhádžte výsledky mincou, alebo si napíšte na papier postupnosť 120 vymyslených výsledkov H/Z (hlava/znak) a snažte sa, aby Vaša postupnosť pôsobila čo najnáhodnejšie.

Vyskytuje sa niekde vo Vašej postupnosti päť (alebo viac) rovnakých výsledkov za sebou? Ak nie, tak vitajte v klube normálnych študentov - výsledky ste si skoro určite vymysleli. Totiž pravdepodobnosť, že v 120 hodoch mincou nebude niekde aspoň 5 rovnakých výsledkov za sebou je menej ako 2 percentá...

Ukazuje sa, že veľa ľudí má predstavu o nezávislých náhodných výsledkoch vychýlenú tak, že podvedome považujú dlhšie série rovnakých výsledkov za menej pravdepodobné ako v skutočnosti sú. Táto naša chybná intuícia sa prejavuje napríklad pri rulete: Ak už dlho nepadla červená farba, tak hráči majú väčšiu tendenciu vsadiť na červenú, pretože už "predsa musí konečne padnúť" :-)

Poznámka. Existuje veľké množstvo podobných testov na "pravosť" generovania náhodných hodnôt. Napríklad: Rozdeľte svoju postupnosť 120 výsledkov na 30 úsekov po štyri výsledky a spočítajte, koľko z týchto štvoríc je typu HHHH, ZZZZ, HZZZ, ZHHH, HHZZ, ZZHH, HHHZ alebo ZZZH. Ak je takýchto štvoríc 10 alebo menej, zrejme ste si danú postupnosť vymysleli. Ak by ste totiž naozaj hádzali mincou, bola by pravdepodobnosť takéhoto výsledku približne len 0,05. To čo sme tu urobili sa v štatistickej terminológii nazýva test hypotézy o pravdepodobnosti p binomického rozdelenia na hladine významnosti 5 percent.

Poznámka 3.2.2008: Práve som zistil, že "chybná intuícia", ktorú spomínam v príspevku, má svoje meno: "Gambler's fallacy".

Náhodné permutácie

Náhodné permutácie sú mojou obľúbenou témou na ilustráciu základných techník v teórii pravdepodobnosti. Keď som na Wolfram demonstrations objavil programík na grafické znázorňovanie cyklov náhodnej permutácie, rozhodol som sa, že o náhodných permutáciách napíšem krátky príspevok do blogu. Možno táto téma niekoho zaujme; bola by napríklad vhodná na bakalársku (a možno aj diplomovú) prácu pre teoretickejšie orientovaného matematika.

Uvažujme postupnosť (1,2,...,n), ktorú "dokonale" náhodne premiešame, napríklad pomocou jednoduchého Fisherovho-Yatsovho algoritmu. Tým dosiahneme to, že každá z n! možných výsledných permutácií má pravdepodobnosť 1/n!. Uvedomme si, že každá permutácia rozloží množinu čísiel 1,...,n na niekoľko podmnožín zodpovedajúcich "cyklom" (pozri ilustračný obrázok vľavo hore pre n=24).

Napríklad pre n=6 má permutácia (2,1,4,6,5,3) tri cykly: cyklus „...-3-4-6-3-4-6-...“ dĺžky 3 (pretože pôvodná pozícia 3 je v novej permutácii obsadená číslom 4, pôvodná pozícia 4 je obsadená číslom 6 a pôvodná pozícia 6 je obsadená číslom 3), ďalej cyklus „...-1-2-1-2-1-...“ dĺžky 2, a cyklus „...-5-5-5-...“ dĺžky 1. Permutácia na ilustračnom obrázku má 5 cyklov dĺžok 1,1,3,5 a 14.

Z pravdepodobnostného hľadiska je práve zaujímavé študovať charakteristiky počtu cyklov a ich dĺžok v náhodnej permutácií.

Najklasickejší problém z oblasti náhodných permutácií, ktorý sa objavuje na prednáškach z pravdepodobnosti po celom svete, môžeme formulovať napríklad takto: Sekretárka náhodne rozdelí n (rôznych) listov do n (rôznych) obálok s adresami. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň jeden list vloží do správnej obálky? V reči náhodných permutácií a cyklov sa pýtame na otázku aká je pravdepodobnosť, že náhodná permutácia n čísiel bude mať aspoň jeden cyklus dĺžky jedna. To je možné vyriešiť jednoduchou aplikáciou princípu zapojenia vypojenia. Na tomto príklade je tiež zaujímavé to, že pre n ide do nekonečna sa výsledná pravdepodobnosť blíži presne k 1-1/e.

Veľa podobných otázok je vyriešených v podrobnom článku Wikipédie pomocou techniky vytvárajúcich funkcií. Niektoré z týchto otázok sa však dajú vyriešiť oveľa elementárnejšie, priamočiarym využitím linearity strednej hodnoty. Takto je napríklad možné ukázať, že stredná hodnota počtu cyklov dĺžky k je presne 1/k (nezávisle na n). To znamená, že v priemere sa vygeneruje jeden cyklus dĺžky 1, "pol" cyklu dĺžky dva, atď. Z toho tiež okamžite plynie, že stredná hodnota počtu všetkých cyklov je n-té harmonické číslo H(n) . To je aj pre veľké n kontraintuitívne nízke číslo; napríklad stredný počet cyklov náhodnej permutácie milión čísiel je približne 14,4. Dá sa preto tušiť, že v náhodnej permutácií by sa mali s "veľkou pravdepodobnosťou" vyskytovať "veľké cykly". Skutočne to tak je; napríklad jednoduchým trikom je možné ukázať, že pravdepodobnosť výskytu cyklu obsahujúceho nadpolovičnú väčšinu čísiel je H(n)-H(n/2). (Pre jednoduchosť berieme n párne.) Hodnota H(n)-H(n/2) konverguje k číslu ln(2), čo je približne 0,693. To znamená, že pre veľké n vznikne s pravdepodobnosťou zhruba 70% v náhodnej permutácii n čísiel cyklus obsahujúci nadpolovičnú väčšinu čísiel.

Najťažší elementárne formulovaný matematický problém ...

... ktorého vyriešenie by Vám prinieslo slávu aj bohatstvo. A to pritom nie slávu poľnú trávu, ale bezpochyby slávu na veky a k tomu solídnych milión dolárov. Keďže veľkú Fermatovu vetu nám vyfúkol Andrew Wiles, tak asi tušíte, že hovorím o niektorom z Millennium Problems. Ale ktorý z nich je možné formulovať elementárne?

Nie je to tak dávno, čo Jeffrey Lagarias formuloval v reči elementárnych matematických operácií slávnu Riemannovu hypotézu. Stačí overiť, že pre všetky prirodzené čísla n je splnená nerovnosť
(pričom rovnosť nastáva len pre n=1), ktorá zahŕňa len súčet kladných deliteľov čísla n, n-té harmonické číslo, prirodzený logaritmus a exponenciálnu funkciu; pozri priamo Lagariasov článok, alebo vzťah 5 na stránke mathworldu.

Drvivá väčšina matematikov verí, že Riemannova hypotéza je pravdivá. Avšak nie sú náhodou odsúdení len na večnú vieru a nič viac? Takýto zvrat sa Vám môže zdať trochu divný, ale matematika skrátka je veľmi podivná a asi si na to treba zvykať. Prečo?

O Gödelovych vetách ste už asi počuli, ale obvykle sa nám ich dopad zdá akosi vzdialený matematickej realite. Už dlhšiu dobu je však dokázané, že existuje nekonečne veľa Diofantických rovníc, ktoré nemajú žiadne riešenie v obore celých čísiel, ale pritom túto skutočnosť o nich nie je principiálne možné dokázať. Napríklad podľa Stephana Wolframa by takou rovnicou mohla byť m^2=n^5+6n+3. Úloha dokázať neexistenciu riešenia Diofantickej rovnice je pritom veľmi jednoducho formulovateľná a pomerne častá.

Takže tak. To čo je jednoducho formulovateľné a súčasne pravdivé, nemusí byť vôbec dokázateľné, aspoň nie v rámci našej bežnej formalizácie. Je teda možné, že aj Riemannova hypotéza je jednou z takýchto čudesných právd.

Poznámky: 1) Podobné proroctvá tu však boli už pred dokázaním veľkej Fermatovej vety a predsa sa nenaplnili. 2) Všetky moje komentáre týkajúce sa teórie čísiel a logiky berte trochu s rezervou; tieto oblasti sa mi páčia, ale nie som na ne expert. 3) Časť o Diofantických rovniciach je napísaná na základe knihy Rudyho Ruckera "The lifebox, the seashell, and the soul".