Delenie hranatého koláča II

Traja matfyzáci napiekli koláč v tvare nepravidelného konvexného šesťuholníka a teraz špekulujú nad tým, ako si ho podeliť spravodlivo, čiže tak, aby každý z nich dostal rovnakú časť koláča. Základný nápad je jednoduchý: vo vnútri koláča zvolia "centrálny" bod a od tohoto bodu budú viesť priame rezy smerom k vrcholom šesťuholníka. Poraďte im ako majú tento centrálny bod zvoliť, aby si mohli výsledných šesť trojuholníkových kúskov medzi sebou spravodlivo podeliť.

Na ilustračnom obrázku je príklad voľby takéhoto bodu a príslušného delenia: červené kúsky dostane jeden, žlté druhý a hnedé tretí. Táto úloha je už trochu náročnejšia ako predchádzajúca; pokúsme sa najprv zodpovedať otázku, či také delenie vôbec vo všeobecnosti existuje, čiže či je vôbec základná myšlienka delenia správna.

Delenie hranatého koláča.

Zábavný článok v časopise New Scientist o krájaní pizze ma inšpiroval k formulovaniu nasledovnej, podobnej, ale omnoho ľahšej úlohy:

Koláč v tvare pravidelného n-uholníka (pričom n je párne) rozkrájame na n trojuholníkových kúskov tým spôsobom, že vedieme rezy od vrcholov koláča k náhodne zvolenému bodu vo vnútri koláča. Kúsky si potom medzi sebou striedavo rozdelia dvaja ľudia. Dostanú obaja rovnakú časť koláča?

Na ilustratívnom obrázku máme znázornenú situáciu pre n=6 a n=8. Jeden človek dostane kúsky vyznačené žltou farbou a druhý človek kúsky vyznačené hnedou farbou.

Planéta X

Planéta X má tvar gule, pričom jej obývateľná zóna tvorí pás okolo rovníka, ktorého šírka je jedna šestina obvodu planéty. (Čiže najkratšia cesta od jedného kraja tohoto pásu po druhý kraj, samozrejme po povrchu planéty, má dĺžku šestinu obvodu tejto planéty.) Koľko percent povrchu tejto planéty je obývateľných? Koľko percent povrchu planéty X by bolo obývateľných, ak by bola nie troj, ale štyridsaťdvarozmerná?

Poznámka: V prípade 42 rozmernej planéty je úloha dosť náročná; už len formulovať ju matematicky presne nie je jednoduché. Ak chcete, môžeme o tom samozrejme podiskutovať a vyriešiť túto úlohu aspoň numericky...

Poznámka 3.12.: No, "dosť náročná" je pre ten 42 rozmerný prípad asi eufemizmus. "Pekelná" je asi lepší prívlastok a to napriek tomu, že riešenie je len dávno známy špeciálny prípad tvrdení z článku, ktoré sme s Vladom Lackom prednedávnom zaslali do časopisu. Ale nič to. Môžeme tu mať aj takúto úlohu. Ak by sa niekto cítil byť veľký frajer...

Osobnosti slovenskej matematiky: Lev Bukovský (pozvánka na prednášku)

(Po kliknutí na obrázok sa oznam zobrazí v plnom rozlíšení.)

Mnohí z nás si neuvedomujú, že viacerí slovenskí matematici sú medzinárodne uznávanými osobnosťami a ich výsledky sa stali v matematike pojmami. Rovnako ako národ by mal poznať svoju históriu, tak aj my, študenti matematiky a matematici ako takí, by sme mali poznať, čo svetu dala slovenská matematika.

Cyklus prednášok Osobnosti slovenskej matematiky je organizovaný študentmi Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave. Jej cieľom je priblížiť študentom ako aj odbornej verejnosti najväčšie prínosy slovenských matematikov. Každá prednáška je zameraná na dielo jednej osobnosti slovenskej matematiky, ktorá prednášku aj vedie. Dôvodom takej to formy je možnosť týchto ľudí spoznať aj osobne. Prednášky majú populárnu formu a sú koncipované tak, aby im porozumeli aj študenti a širšia odborná verejnosť.

Študenti Fakulty matematiky, fyziky a informatiky UK

Počítame semienka

To, čo je nasypané do sklenenej kocky na fotografii sú, predstavte si, sézamové semienka. Pokúste sa odhadnúť ich počet. (Kocka má hranu dĺžky približne 1 meter.)

Rozuzlenie 29.11.:

(Obrázok sa kliknutím zväčší.)

Väčšina z Vás tipovala niekoľkonásobne vyšší počet semienok, hoci rádovo správne. Zďaleka najlepšia sa však ukázala metóda odhadu počtu semienok na základe výšky Kofoly v pohári, ktorej aplikáciou vyšlo gooberovi 110 524 267.

Ja by som postupoval nasledovne: Zaplnená časť kocky semienok má rozmery zhruba 1000 × 1000 × 700 milimetrov. Aké veľké je sezamové semienko možno odhadnúť napríklad pomocou stránky "cells size and scale", ktorá je mimochodom zaujímavá aj sama o sebe. Sezamové semienko má nepravidelný tvar, ale podľa obrázka je jeho objem približne rovnaký, aký má guľôčka o polomere 1 milimeter. Guľôčky (a ani semienka) sa samozrejme nedajú naukladať tak, aby medzi nimi nebol žiadny voľný priestor; ich ideálne naukladanie necháva približne 25 percent priestoru voľného, takže odhadnime, že medzi semienkami je v skutočnosti voľného približne 28 percent objemu. Výsledkom je odhad 120 321 137. :-)

Ešte dodám, že fotografie pochádzajú z vedeckej exhibície Universum v Brémach.

Pomôžte Agátke s výzdobou

Moja dcérka Agátka dostala včera kolekciu 16 nálepiek, ktoré zodpovedajú symbolom 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, +, -, ×, /, = (v skutočnosti táto sada obsahuje aj kvietky s číslami, ale tie ignorujme). Pomôžte Agátke z týchto symbolov poskladať platnú rovnicu. Čím viac nálepiek v nej bude využitých, tým lepšie.

Napríklad rovnosť 8/4=2 je zostavená z 5 nálepiek, rovnosť 60/3=2×10 sa skladá z 8 nálepiek, ale možno (ehm) existujú aj rovnosti, ktoré používajú ešte viac týchto nálepiek...

Takáto úloha je síce trochu infantilná, ale 1. nájsť najlepšie riešenie nie je vôbec jednoduché a 2. vážnych úloh máme dosť na vyučovaní, nie? ;-)

29.11.: Ďakujeme za všetky návrhy! Agátka si vybrala a nalepila nasledovnú rovnicu:

Ako navigovať robota II

Predchádzajúca úloha sa ukázala byť celkom úspešná; viacerí z Vás našli pekné riešenia logickou úvahou a Rori dokonca našiel riešenie optimálne v tom zmysle, že je najkratšie možné. Pomocou peknej myšlienky Rori tiež vygeneroval množstvo "ťažkých" diagramov, ktoré som si trochu poprezeral a jeden z nich som modifikoval do nasledovnej podoby:

Tak ako v predchádzajúcej úlohe, cieľom je nájsť postupnosť príkazov M/C, ktorá dovedie robota do miestnosti A z akejkoľvek inej* miestnosti.


Kto nájde optimálne riešenie len v hlave, je génius. A kto nájde riešenie pomocou počítača, je schopný programátor. Možno keby som bol zamestnávateľ a chcel by som zistiť, či vie niekto naozaj programovať a algoritmicky myslieť (čo si dnes o sebe myslí skoro každý), tak by som mu dal počítač a požiadal ho, nech mi do hodiny povie riešenie tejto úlohy :-)

* Pôvodne som formuloval úlohu so slovom "inej" a takáto úloha je zmysluplná a tiež pomerne obtiažna, pričom ju vyriešil Nanyk (pozri komentáre). Pôvodný zámer bol však taký, že dané riešenie musí dostať robota do miestnosti A aj ak ten robot začína v priamo v A. Pri riešení tohto pôvodne zamýšľaného problému sa však možno dajú Nanykove myšlienky použiť ...

Ako navigovať robota I

Máme labyrint piatich miestností znázornený na ilustračnom obrázku. Medzi každými dvomi miestnosťami je práve jedna jednosmerná cesta, ktorá je buď modrá, alebo červená. V niektorej (neznámej) miestnosti tohto labyrintu je robot, ktorého síce nevidíme, ale môžeme mu posielať príkazy typu M (prejdi modrou cestou) a C (prejdi červenou cestou). Je možné vyslať robotovi takú postupnosť príkazov M/C, aby po jej vykonaní s istotou skončil v miestnosti A?

Tento príklad je motivovaný istou úlohou z knihy Ivan Moscovich: The Big Book of Brain Games.

Poznámka 3.11.: V komentároch ma upozornil misof na to, že táto úloha je príbuzná jednému otvorenému problému, ktorý súvisí s Československom. Tak som sa na to trochu pozrel a naozaj! Jedným z najznámejších otvorených problémov teórie konečných automatov je takzvaná Černého domnienka, ktorá vychádza z článku Jána Černého publikovaného priamo v slovenčine! Ako je možné, že to nepatrí ku "common knowledge" aspoň medzi slovenskými matematikmi?

Ak chcete o tomto probléme vedieť viac, tak si môžete prečítať tento pekný článok. Ale v zásade sa jedná o nasledovné: Predpokladajme, že máme podobný diagram ako v našej úlohe, pričom miestností je n a existuje nejaká pevná postupnosť príkazov, ktorá pošle robota do danej miestnosti z akejkoľvek inej miestnosti. Potom existuje aj postupnosť príkazov, ktorá toto spĺňa a jej dĺžka nepresahuje (n-1)². Černého diagram stupňa 5, v ktorom je najkratšie riešenie dĺžky 16, je znázornený na nasledovnom obrázku. (Viete to riešenie nájsť?)