Reťaze z mincí

Pri príležitosti dňa čísla π som pre Vás vymyslel nasledovnú úlohu (tento krát pomerne jednoduchú :).

Na obrázkoch sú dve reťaze vytvorené z mincí. Ktorá z nich má väčší vnútorný obvod?

Pod vnútorným obvodom myslíme dĺžku hranice "mláčky", ktorá by vznikla, ak by sme medzi mince naliali vodu (samozrejme za predpokladu, že by tá voda pomedzi mince nepretiekla). Teším sa na Vaše riešenia.

Poznámka 16.3.: Túto úlohu je možné vyriešiť matematicky; nejde o skúšku Vášho vizuálneho odhadu.

Pozoruhodná potvora

Matematické funkcie môžu mať veľmi komplikované vlastnosti, a to aj v prípade, keď sú definované jednoduchým predpisom. Včera mi pri riešení jedného príkladu vyskočila takáto pozoruhodná potvora:

 

kde λ je reálna konštanta. Čo všetko sa o nej dá povedať?

Po prvé si uvedomíme, že táto funkcia je dobre definovaná, pretože členy uvedeného nekonečného súčinu sú pre každé x od istého n v intervale (0,1), takže limita, ktorá určuje tento nekonečný súčin, existuje a je konečná. Tiež si hneď všimneme, že pre celé čísla x rôzne od nuly platí f(x)=0. Avšak prakticky akákoľvek ďalšia vlastnosť tejto funkcie je už netriviálna, ako naznačuje aj jej graf pre λ=1.5365:

Ak si niekto z Vás myslí, že je naozaj dobrý v matematickej analýze, môže sa pokúsiť zodpovedať napríklad nasledovné otázky:

• Je hodnota f(x) nenulová pre každé kladné neceločíselné x?
• Aká je množina tých hodnôt λ, pre ktoré je funkcia f ohraničená na celom R?
• Je derivácia tejto funkcie nenulová v každom bode x=2^k, kde k je celé nezáporné číslo?

A ak sa niekomu z Vás podarí zodpovedať na všetky tri tieto otázky do týždňa (samozrejme s rigoróznym dôkazom), tak mu darujem svoj The Princeton Companion to Mathematics, lebo tak bude pravdepodobne v lepších rukách ;-)

Timothyho úloha

V úvodnej časti knihy Princeton Companion to Mathematics uviedol Timothy Gowers ako príklad kombinatorickej úlohy nasledovné zadanie:

Koľko existuje nula-jednotkových matíc rozmeru n × n, ktoré majú v každom riadku aj v každom stĺpci maximálne dve jednotky?

Timothy sa neunúva dať na túto otázku odpoveď (zrejme je to pre neho príliš triviálne), ale normálnych smrteľníkov ako my môže takáto úloha celkom potrápiť. Priznám sa, že som nad ňou uvažoval skoro pol hodiny a nepodarilo sa mi odvodiť všeobecný vzorček; niekedy to človeku skrátka nezapne. Ale Vy budete možno úspešnejší...

Agátkina teória čísel

Dnes som s dcérkou (4,5 r.) absolvoval nasledovný rozhovor.

Agátka: Ako sa volá najväčšie číslo?
Ja: Najväčšie číslo neexistuje.
Agátka: Ty tomu nerozumieš tata. Najväčšie číslo existuje.
Ja: Áno? A aké je veľké?
Agátka: Ako milión takýchto skríň popísaných číslami.
Ja: Hm. A čo ak by si toto číslo zvačšila o jedna?
Agátka: Tak by som predsa dostala najmenšie číslo.
Ja: Najmenšie číslo?
Agátka: Áno. Jednotku. Čísla musia byť do kruhu.
Ja. Aha. A ak by niekto mal toľko koruniek, koľko je to najvačšie číslo a ja by som mu dal ešte jednu korunku, tak by mal koľko koruniek? Jednu?
Agátka: Ale tata. Keby mal niekto toľko koruniek, tak by bol nimi úplne zasypaný a nemohol by si mu dať už žiadnu korunku...

Nedosiahnuteľné body

Vo vnútri kruhu máme zakreslený bod A. Na hranici tohto kruhu zvolíme bod B, spojíme ho s bodom A úsečkou a stredom úsečky AB budeme kolmo viesť tetivu t. Uvažujme množinu tých bodov kruhu, ktorými tetiva t určite nemôže prechádzať, nech by sme B zvolili kdekoľvek na hranici kruhu. Čo všetko vieme o tejto množine bodov povedať? 

Poznámka 3.2.: Úlohu už prakticky vyčerpávajúco vyriešil Peťo a to dokonca vo všeobecnej, mnohorozmernej verzii; viď jeho blog.

Zbierka úloh z pravdepodobnosti je na svete

Po dlhom čase vymýšľania zadaní, počítania riešení, kontrol a editovania nám vyšla naša prvá kniha: Zbierka úloh zo základov teórie pravdepodobnosti. Hurá!

Zbierka obsahuje 519 úloh, z ktorých každá má uvedený aspoň číselný výsledok, a väčšina dokonca podrobný postup riešenia. Okrem rôznych príkladov na cvičenia, domáce úlohy a písomky, zaradili sme do nej aj viacero komplexnejších a zábavných úloh, napríklad klasiky ako Buffonovu ihlu a Buffonovo vlákno, úlohu o ruinovaní, Monty Hall problem, problém zberateľa kupónov, Banachove zápalky, dvojrozmernú náhodnú prechádzku a podobne, ale aj vlastné úlohy, ako napríklad úlohu o kurzoch stávkových kancelárií, nové úlohy o lámaní úsečiek, problémy počtov cyklov v náhodných permutáciách, úlohy týkajúce sa rozdelenia IQ v populácii a mnohé iné. Dúfame, že zaujmú.

Bohužiaľ, väzba knihy je dosť nevhodne zvolená a nekvalitne urobená (kniha sa dá len veľmi ťažko úplne roztvoriť a nebude sa z nej dať dobre kopírovať), ale za to už my, autori, nemôžeme. Každopádne, zbierka sa čítať dá a teraz nás už čaká len rozhodovanie, ako budeme našu zbierku rozdeľovať medzi ľudí a najmä akým spôsobom získame čo najväčšiu spätnú väzbu, aby sme vychytali chyby, lepšie vyvážili zadania a pripravili druhé vydanie :-)

Poznámka: Úlohy z prvej kapitoly si môžete pozrieť tu.

Fermatova množina

Dnes uplynulo presne 345 rokov od smrti slávneho Fermata a pri tejto príležitosti vyšiel na SME celkom pekný a čitateľsky úspešný článok. Diskusie k podobným článkom sú síce zaujímavé viac z psychologického, než z matematického hľadiska, avšak občas sa v nich vyskytne komentár, nad ktorým sa oplatí zamyslieť. V diskusii k článku o Fermatovi bola pre mňa takou nasledovná otázka čitateľa "toerotik":

"Ak mocnina 2 je Pytagorova veta, a pre [mocninu] 3 vraj mal [Fermat] dôkaz [veľkej Fermatovej vety], ako je to s mocninou napríklad 2,2?"

Teória čísiel nie je mojou silnou stránkou, ale tipol by som si, že táto otázka môže byť netriviálna aj pre špecialistu. Formulujme si preto nasledovnú, podstatne všeobecnejšiu úlohu:

Fermatovou množinou nazvime množinu všetkých reálnych čísiel r, pre ktoré existujú prirodzené čísla x,y,z spĺňajúce x^r+y^r=z^r. Čo všetko vieme povedať o Fermatovej množine?

Jedna z vlastností Fermatovej množiny je tá, že obsahuje čísla 1 a 2, ale neobsahuje žiadne väčšie prirodzené číslo (to je vlastne veľká Fermatova veta). Vieme povedať o nejakých ďalších reálnych číslach, že patria, alebo nepatria do Fermatovej množiny? Vieme povedať, či Fermatova množina obsahuje nekonečne veľa reálnych čísiel? ... Teším sa na Vaše postrehy.

13.1.: V komentároch sa nám podarilo dokázať, že Fermatova množina je hustá v reálnych číslach, čiže pri akomkoľvek reálnom čísle vieme nájsť ľubovoľne blízko nejaké číslo z Fermatovej množiny. Peťo tiež našiel pomerne nedávny článok, z ktorého plynie, že kladné čísla z Fermatovej množiny sú iracionálne, s výnimkou čísiel tvaru 1/n a 2/n, kde n je prirodzené číslo.

Napadlo ma, že by mohlo byť zaujímavé zobraziť grafy funkcií x^r+y^r-z^r reálnej premennej r pre niekoľko "malých" trojíc prirodzených čísiel x,y,z. Tu je výsledok pre všetky trojice prirodzených čisiel x,y,z, ktoré nepresahujú 8:

Červenou bodkou som zaznačil čísla r, v ktorých platí x^r+y^r-z^r=0, čiže čísla z Fermatovej množiny. Keď som zväčšoval počet trojíc x,y,z, červené bodky skutočne čím ďalej, tým hustejšie pokrývali množinu reálnych čísiel...

Membrána medzi obručami

Dve rovnaké kruhové obruče namočíme do mydlovej vody a opatrne ich od seba vzdialime. Aký tvar bude mať membrána, ktorá sa medzi nimi vytvorí?

Intuitívne sa zdá zrejmé, že membrána bude mať tvar plášťa valca, ako je to zobrazené na ilustračnom obrázku vľavo. Ale je to tak naozaj?

Túto peknú úlohu mám od otca, ktorého silnou stránkou je to, že veľmi dobre rozumie fyzike (na rozdiel od mnohých iných matematikov) a za vzorcami vidí reálny svet.

3.1.2010: Ako ste už správne napísali v komentároch, membrána medzi obručami nebude mať tvar plášťa valca; tu je dôkaz:

Vzhľadom na to, že mydlová membrána je extrémne tenká, je gravitačné pôsobenie zanedbateľne malé a jej tvar bude takmer presne zodpovedať plášťu rotačného telesa s minimálnym možným povrchom. Ako správne odhadol Vlado, úloha nájsť také teleso patrí do obasti variačného počtu a ako napísal Rasťo, výsledkom je teleso nazývané catenoid, ktoré vznikne rotáciou "reťazovky", čiže vlastne hyperbolického kosínu.

PS: Želám Vám šťastný nový rok a okrem iného veľa potešenia z nového poznania :-)