Dva trojuholníky a tri štvorce

Po dlhšom čase som pre Vás vymyslel dve nové úlohy; keďže je leto, tak rekreačné a navyše také, ktoré je možné riešiť skoro všade. Stačí papier a ceruzka, alebo piesok a prst. :)

Je možné, aby dva trojuhoníky vytvorili útvar, ktorý celkovo obsahuje viac ako 8 rôznych trojuholníkov? Je možné, aby tri štvorce vytvorili útvar, ktorý celkovo obsahuje viac ako 7 rôznych štvorcov?

Opica

Opica stotisíckrát náhodne udrie do klávesnice s 26 základnými písmenami, pričom pri každom údere zasiahne každé z písmen s pravdepodobnosťou 1/26. Čo má vo výslednom reťazci väčšiu strednú hodnotu: počet výskytov podreťazca "aaaa", alebo počet výskytov podreťazca "abcd"?

Odpovede na anticipované otázky: Ak sa v reťazci vyskytnú viac ako 4 a-čka za sebou, započítavame každý výskyt štvorice a-čiek ako rôzny podreťazec "aaaa". Čiže napríklad reťazec "xaaaaaaaay" obsahuje až 5 podreťazcov "aaaa", nie dva, zatiaľ čo reťazec "xabcdabcdy" obsahuje samozrejme len dva podreťazce "abcd". Túto úlohu mám od môjho kolegu Jana Somorčíka

Veže

  Agátka si z 21 drevených kociek postavila niekoľko veží. Z každej veže vzala vrchnú kocku a zo zozbieraných kociek postavila novú vežu. Potom opäť vzala z každej veže najvrchnejšiu kocku a z týchto kociek postavila novú vežu a tak ďalej. Keď po dlhom čase so svojou hrou skončila, koľko mala veží? 

Poznámka: Aj jednu kocku považujeme za vežu. Keď z takejto veže vezme Agátka vrchnú (čiže jedinú) kocku, táto veža zanikne a príslušná kocka sa stane súčasťou novej veže.

Ajkina úloha

Moja doktorandka Ajka Bachratá mi včera zadala takúto domácu úlohu:

Vieme, že v istej skupine 1000 ľudí je aritmetický priemer IQ presne 100 a rozptyl je presne 900. Aký je maximálny možný počet ľudí v tejto skupine, ktorí majú IQ aspoň 150?

Ako svedomitý školiteľ som si svoju domácu úlohu vyriešil a keďže sa mi celkom páčila, rozhodol som sa, že sa o ňu podelím aj s Vami. Riešenie si nevyžaduje žiadnu náročnú matematiku, no súčasne nie je úplne priamočiare.

Poznámka: V našej úlohe nie je úplne jednoznačne povedané čo sa myslí pod pojmom "rozptyl". Keď si pozrieme príslušnú stránku wikipedie, tak zistíme, že do úvahy prichádzajú dve mierne odlišné definície: "vychýlený výberový rozptyl" a "nevychýlený výberový rozptyl". Ak by mal štatistik len súbor reálnych dát

y₁,y₂,...,y₁₀₀₀

bez znalosti presnej strednej hodnoty rozdelenia, z ktorého dáta pochádzajú, skoro určite by použil "nevychýlený výberový rozptyl". Avšak v našom príklade sa dohodnime, že kvôli jednoduchosti riešenia budeme pod pojmom "rozptyl" uvažovať "vychýlený výberový rozptyl", čiže aritmetický priemer čísiel

(y₁-100)²,(y₂-100)²,..., (y₁₀₀₀-100)².

Ak by sme náhodne vybrali 1000 ľudí z populácie, tak ich priemerné IQ bude skutočne okolo 100, ale výberový rozptyl bude oveľa menší ako 900 (pre štandardizované testy bude približne 225). Skupina zo zadania by musela byť teda veľmi zvláštna...

Tri čísla

  Nájdite tri rôzne prirodzené čísla a,b,c také, že a+b je deliteľné číslom c+1, súčasne a+c je deliteľné číslom b+1 a súčasne b+c je deliteľné číslom a+1.

Poznamenám, že túto úlohu je možné vyčerpávajúco vyriešiť (čiže nájsť všetky riešenia a tiež dokázať, že tie riešenia sú naozaj všetky) na pár riadkov a to len pomocou základnej aritmetiky a úvah týkajúcich sa deliteľnosti.

Studňa

Nasledovnú úlohu položili autori knihy "How to Solve It: Modern Heuristics" veľkému počtu ľudí, z ktorých každý mal aspoň bakalársky titul z matematiky, informatiky, prípadne techniky. Nechce sa mi tomu ani veriť, ale údajne len jedno percento týchto ľudí našlo (nejaké) správne riešenie, pričom mali k dispozícii celú hodinu! Pokúste sa túto úlohu vyriešiť aj Vy a napíšte nám do komentárov ako dlho Vám to trvalo.

Do "dvojrozmernej studne" s vodorovným dnom a zvislými stenami vzdialenými od seba 3 metre sme hodili dve rovné palice dĺžok 4 a 5 metrov, ktoré sa ustálili v pozícii zaznačenej na obrázku. Ako vysoko od dna leží bod, v ktorom sa tieto palice "pretínajú"?

Znamienka

Pre ktoré čísla n existuje n-tica e₁,...,e_n "znamienok" (čiže n-tica pozostávajúca z čísiel -1 a 1) taká, že e₁1+e₂2+...+e_nn=0?

Nemožné?

Použitím cifier 1, 2, 3, ..., 9 (každú najviac raz) a operácii plus, mínus, krát, deleno, druhá odmocnina, umocňovanie, dvojkový logaritmus a zátvoriek napíšte ľubovoľné prirodzené číslo.

To je zadanie úlohy, ktoré mi pred pár dňami poslal Ondrej Budáč. Vzhľadom na to, že na prvý (aj druhý, aj tretí...) pohľad vzbudzuje úloha dojem neriešiteľnosti, uvediem tiež vlastné, trochu podrobnejšie, "informaticky ladené" znenie:

Nájdite spôsob ako konštruovať výrazy v₁, v₂, ... (v nejakom hypotetickom programovacom jazyku, ktorý počíta úplne presne s reálnymi číslami a má neobmedzenú dĺžku výrazov) také, že hodnota výrazu v_i je i. Každý z výrazov v_i môže obsahovať maximálne raz každú z cifier 1,2,..,9 a ľubovoľnekrát operátory +,-,*,/,^, funkcie sqrt,log2 a zátvorky (,). (Funkcia sqrt počíta druhú odmocninu a log2 dvojkový logaritmus.) Cifra 0 ani žiadne iné operátory a funkcie (ani premenné a konštanty) nie sú dovolené.

Ja som sa s týmto problémom trápil najprv asi pol hodiny, ale po dlhšej pauze ma napadlo riešenie už veľmi rýchlo. Naozaj to ide, nie je v tom žiadny chyták!