27 mája 2008

Banachov-Tarskeho paradox: časť 2: úloha

Nech A je kružnica s polomerom 1 a nech B je tiež kružnica s polomerom 1, ktorej však chýba jeden bod (pozri obrázok). Sú množiny A a B zhodne rozložiteľné? T.j., trochu nepresne formulované: Je možné rozbiť A na konečný počet podmnožín, z ktorých len posunutím a rotáciou môžeme poskladať B?

Poznámka: Pojem "zhodne rozložiteľné množiny" sme presne definovali v predchádzajúcom príspevku. Teším sa na Vaše riešenia.

7 komentárov:

Lev bez hrivy povedal(a)...

Neviem. Niekde som sa docital, ze v rovine zhodne rozlozitelne nie su, ale na rozumny dovod som neprisiel. Samozrejme mi chodili po rozume okolia vybraneho bodu ale kedze podmnoziny nemusia byt otvorene, suvisle, nic zvlastne, tak nic rozumne neviem odvodit. Prezrad... :-)

Radoslav Harman povedal(a)...

Dobre, pomôcka: Kružnica A a kružnica B s odstráneným jedným bodom zhodne rozložiteľné a to dokonca len na dve podmnožiny, ktoré sú rovnaké až na pootočenie a posuv.

Anonymný povedal(a)...

lev: ja som mala tiez ten pocit, ale potom som zistila, ze to, co som citala bolo o rozkladani ploch... inak uz mam popisany cely papier, ale riesenie zatial nikde. :-)

katka povedal(a)...

Na kruznici mam body 0 az 2pi (podla toho aky uhol zviera os x s priamkou spajajucou dany bod s pociatkom). Vytvorim si takuto mnozinu: bod 0, bod r/2pi, bod 2r/2pi, ... , pricom r/2pi je nejake iracionalne cislo. Tuto mnozinu otocim o uhol r/2pi proti smeru hodinovych ruciciek. Zvysne body kruznice necham na mieste. Zatial sa mi zda, ze toto by mohlo fungovat. :)

Lev bez hrivy povedal(a)...

Dost dobre! Hilbertov hotel a iracionalita dlzky kruznice dohromady!

Radoslav Harman povedal(a)...

Katka: Výborne! Ak je r taký uhol (v radiánoch), že r/2π je iracionálne číslo, tak body na kružnici určené uhlami r,2r,3r,... sa nikdy nezopakujú. Ak označíme túto spočítateľnú množinu bodov ako M, tak pootočením M o uhol r dostaneme opäť presne M, s výnimkou prvého bodu. Urobil som obrázky, ktoré zobrazujú prvých 8 a prvých 200 bodov množiny M pre uhol r=1 radián.

Ako tvrdí Lev, je to naozaj vyžitie Hilbetovho hotela a iracionality dĺžky kružnice.

Peter Richtárik povedal(a)...

Veľmi pekné!