10 septembra 2009

Ďalšia zapeklitá úloha z pravdepodobnosti

Už sa teším na obdobie, keď odovzdáme do tlače našu zbierku úloh z teórie pravdepodobnosti a budem sa môcť rozpísať napríklad o nedávnej návšteve "Univerza" v Brémach, alebo o množstve zaujímavých nových odkazov. Dovtedy však zo mňa nedostanete nič viac, ako len ďalšiu zapeklitú úlohu z pravdepodobnosti. Tentokrát je podľa mňa celkom pozoruhodná a ak sa ju niekomu podarí do týždňa vyriešiť nejakým jednoduchým trikom bez použitia náhodných premenných, má u mňa dve odmeny: jeho meno sa objaví v našej zbierke a darujem mu jeden exemplár zbierky aj s podpismi autorov :-)

Dokážte, že ak súčet pravdepodobností n-tice udalostí je viac ako k-1 (pre akékoľvek k od 1 do n), tak sa s nenulovou pravdepodobnosťou realizuje aspoň k spomedzi týchto udalostí.

Napríklad ak by sme mali skupinku piatich ľudí, pričom (pravdepodobnosť, že prvý z nich spraví skúšku) + (pravdepodobnosť, že druhý z nich spraví skúšku) + ... + (pravdepodobnosť, že piaty z nich spraví skúšku) > 3, tak potom s nenulovou pravdepodobnosťou sa stane to, že skúšku spravia aspoň štyria z týchto piatich ľudí. Pritom nepredpokladáme, že udalosti urobenia skúšky sú nezávislé. (Nakoniec, predpokladať úplnú nezávislosť vypracovávania písomnej časti skúšky by naozaj bolo značne naivné.)

Na ilustračnom obrázku sú štyri množiny (mesiačiky A,B,C a kruh D), pričom neexistuje prienik všetkých štyroch. To znamená, že ak by sme akokoľvek divoko hádzali šípkou do tohto obrázka, tak súčet pravdepodobností zasiahnutia jednotlivých oblastí nemôže byť väčší ako 3.

6 komentárov:

Ruziklan povedal(a)...

Aspon k-1 alebo viac ako k-1? Ten slovny text je formulovany s pouzitim "aspon", ale ten priklad so studentami je s pouzitim "viac ako". Povedal by som, ze to ma byt "viac ako", lebo potom by sa dal lahko urobit kontrapriklad s istymi a nemoznymi udalostami.

Ruziklan povedal(a)...

Oprava: "..., lebo INAC (t.j. v pripade 'aspon') by sa dal lahko urobit kontrapriklad s istymi a nemoznymi udalostami."

Radoslav Harman povedal(a)...

Juraj, máš pravdu, že tam musí byť ostrá nerovnosť, t.j. "viac ako" a nie neostrá, t.j. "aspoň". Ďakujem za upozornenie; hneď to opravím.

misof povedal(a)...

Neviem nakoľko je moje riešenie jednoduché a trikové, ale je pomerne priamočiare a využíva len stredoškolskú pravdepodobnosť.

http://people.ksp.sk/~misof/junk/rado.pdf
(a zdrojak tam isto .tex )

Radoslav Harman povedal(a)...

Mišo: super! Ja som síce našiel dôkaz a dokonca silnejšieho tvrdenia, ale ten využíva stredné hodnoty náhodných premenných a teda som ho nemohol použiť v zamýšľanej kapitole (pred zavedením náhodných premenných). Tvoj dôkaz je úplne OK; trochu ho preformulujem do nášho štýlu a dám ho do zbierky aj s poznámkou o autorovi. Keď zbierku vytlačíme, darujem Ti jeden exemplár :-)

Radoslav Harman povedal(a)...

Mišo: Inak to silnejšie tvrdenie, z ktorého riešenie tejto úlohy plynie a ktoré sa dá veľmi rýchlo a prehľadne dokázať pomocou linerity strednej hodnoty (aj keď samozrejme išlo by to aj dôkazom podobným Tvojmu), je nasledovné:

Súčet pravdepodobností udalostí A_i (pre i=1,...,n) je rovný súčtu pravdepodobností udalostí B_k (pre k=1,...n), kde B_k je udalosť, že nastane aspoň jedna k-tica udalostí A_i súčasne.