20 septembra 2007

Najťažší elementárne formulovaný matematický problém ...

... ktorého vyriešenie by Vám prinieslo slávu aj bohatstvo. A to pritom nie slávu poľnú trávu, ale bezpochyby slávu na veky a k tomu solídnych milión dolárov. Keďže veľkú Fermatovu vetu nám vyfúkol Andrew Wiles, tak asi tušíte, že hovorím o niektorom z Millennium Problems. Ale ktorý z nich je možné formulovať elementárne?

Nie je to tak dávno, čo Jeffrey Lagarias formuloval v reči elementárnych matematických operácií slávnu Riemannovu hypotézu. Stačí overiť, že pre všetky prirodzené čísla n je splnená nerovnosť
(pričom rovnosť nastáva len pre n=1), ktorá zahŕňa len súčet kladných deliteľov čísla n, n-té harmonické číslo, prirodzený logaritmus a exponenciálnu funkciu; pozri priamo Lagariasov článok, alebo vzťah 5 na stránke mathworldu.

Drvivá väčšina matematikov verí, že Riemannova hypotéza je pravdivá. Avšak nie sú náhodou odsúdení len na večnú vieru a nič viac? Takýto zvrat sa Vám môže zdať trochu divný, ale matematika skrátka je veľmi podivná a asi si na to treba zvykať. Prečo?

O Gödelovych vetách ste už asi počuli, ale obvykle sa nám ich dopad zdá akosi vzdialený matematickej realite. Už dlhšiu dobu je však dokázané, že existuje nekonečne veľa Diofantických rovníc, ktoré nemajú žiadne riešenie v obore celých čísiel, ale pritom túto skutočnosť o nich nie je principiálne možné dokázať. Napríklad podľa Stephana Wolframa by takou rovnicou mohla byť m^2=n^5+6n+3. Úloha dokázať neexistenciu riešenia Diofantickej rovnice je pritom veľmi jednoducho formulovateľná a pomerne častá.

Takže tak. To čo je jednoducho formulovateľné a súčasne pravdivé, nemusí byť vôbec dokázateľné, aspoň nie v rámci našej bežnej formalizácie. Je teda možné, že aj Riemannova hypotéza je jednou z takýchto čudesných právd.

Poznámky: 1) Podobné proroctvá tu však boli už pred dokázaním veľkej Fermatovej vety a predsa sa nenaplnili. 2) Všetky moje komentáre týkajúce sa teórie čísiel a logiky berte trochu s rezervou; tieto oblasti sa mi páčia, ale nie som na ne expert. 3) Časť o Diofantických rovniciach je napísaná na základe knihy Rudyho Ruckera "The lifebox, the seashell, and the soul".

1 komentár:

tv povedal(a)...

Riemannova hypotéza má okrem svojho relatívne jednoduchého zadania dalšiu výnimočnú vlastnosť - je na nej založené množstvo výsledkov interdisciplinárneho charakteru - napriek tomu, že jej pôvodná formulácia je v jazyku komplexnej analýzy, má ekvivalentné formulácie a sú na nej založené výsledky teórie čísel. okrem iných napríklad deterministické polynomiálne testy prvočíselnosti. Takže jej vyriešením by sme získali istotu aj v iných problémoch, čo jej atraktivitu ešte zvyšuje, oproti napríklad Veľkej Fermatovej vete ;)