02 januára 2009

Všetky uhly sú rovnaké (súťažná úloha č.7)

Prvý tohtoročný príspevok na blog QED a súčasne siedmu úlohu do našej súťaže napísal Mišo 'mišof' Forišek. Táto úloha je, ako píše Michal, "matematický folklór" a autor nie je známy.

Ak by ste to nevedeli, všetky uhly sú rovnaké a matematika nefunguje. Aby sme si to dokázali, ukážeme, že 90° uhol je rovnako veľký ako 100°. Začneme tým, že si zostrojíme štvorec ABCD. Teraz zvolíme bod E mimo štvorca tak, aby mal uhol DAE 10 stupňov a aby platilo |AE|=|AB|. Teraz zostrojíme osi úsečiek AB a CE, nazveme ich p a q. Tie sa zjavne pretínajú, ich priesečník označíme F.

Celá situácia vyzerá nasledovne:


Všimnime si teraz trojuholníky FAE a FBC. Zjavne platí |FA|=|FB|, lebo F leží na osi AB. Tiež zjavne platí |FC|=|FE|, lebo F leží na osi CE. No a platí aj |AE|=|BC|, lebo E sme zvolili tak, aby jeho vzdialenosť od A bola rovná strane štvorca. Teda podľa "vety SSS" sú tieto dva trojuholníky zhodné.

Keďže sú trojuholníky FAE a FBC zhodné, sú uhly FAE a FBC rovnaké. Pre veľkosti uhlov FAE a FBC platí: |∠FAE|=|∠FAB|+100, |∠FBC|=|∠FBA|+90. Keďže |∠FAE|=|∠FBC|, tak |∠FAB|+100°=|∠FBA|+90°.

Lenže, ako sme už povedali, |FA|=|FB|, a teda trojuholník FAB je rovnoramenný. Potom ale |∠FAB|=|∠FBA|, a preto 100°=90°, q.e.d.

Kde, ak vôbec niekde, je chyba?

3 komentáre:

Tychi povedal(a)...

Krásná úloha, řešení jsem vymyslela těsně před usnutím a totálně to zaspala, takže začnu myslet znova(o:

katka povedal(a)...

Chyba je v zavadzajucom, aj ked velmi presvedcivom obrazku. Trojuholniky FBC a FAE su naozaj zhodne, lebo su tak skonstruovane. Lenze trojuholnik FAE by mal vyzerat trochu inak. Kedze tie trojuholniky su zhodne, malo by existovat nejake zhodne zobrazenie, ktore zobrazi trojuholnik FBC na trojuholnik FAE. Tym zobrazenim je otocenie okolo bodu F o uhol AFB v smere hodinovych ruciciek. (Ja som si nakreslila obrazok, kde mal uhol DAE namiesto 10 stupnov velkost az 90 stupnov, a tam to bolo vidiet jasne :)).

misof povedal(a)...

Tak veru, obrázok je zavádzajúci. Správne ten bod F vyjde tak vysoko, že FE bude naľavo od FA, a potom už zrazu všetko funguje.