06 februára 2009

Exponenciálna funkcia v komplexnej rovine

Nasledovné video je animáciou funkcie


pričom t je čas v rozmedzí 0 až 2π. Všimnite si, že pre t=0 máme obyčajnú komplexnú exponenciálnu funkciu, zatiaľčo pre t=π sa jedná o funkciu exp(1/z), keďže exp(iπ)=-1.

video

Farbu som pre toto video volil tak, že reálna zložka zodpovedá "dimenzii h", čiže hue a komplexná zložka "dimenzii s", čiže saturation, v hsv parametrizácii farieb.

2 komentáre:

Anonymný povedal(a)...

len taka jedna otazka: preco prave takato funkcia? :-)

Radoslav Harman povedal(a)...

Ešte v ére sálových počítačov urobil môj otec vo FORTRANe program, ktorý popísal balík papiera rôznymi symbolmi (písmenami, číslami) a keď sa jednotlivé lajstrá z toho balíka vhodne rozložil na stenu (alebo na veľkú nástenku), tak vytvorili graf funckie exp(1/z) zodpovedajúci framu na mojom videu v čase t=π.

K celému videu som dospel zabávaním sa s touto funkciou, ale jednotlivé úvahy prečo práve takto si už podrobne nepamätám.

Inak funkcia exp(1/z) má zaujímavú vlastnosť: v akomkoľvek okolí nuly nadobúda všetky komplexné čísla okrem nuly (snáď si to dobre pamätám). Otec ju zobrazil preto, že si túto vlastnosť "nevedel predstaviť".