17 februára 2009

Ryby

Do ukončenia súťaže nám chýbajú už len dve úlohy, takže neváhajte a niečo pošlite; veď pekných matematických úloh je približne nekonečne veľa. Napríklad táto:

Rozhodol som sa, že budem chytať ryby (po jednej) až dovtedy, kým ich celková hmotnosť neprekročí 1kg. Aká je stredná hodnota počtu rýb, ktoré ulovím? Viem, že v mojom rybárskom revíre má hmotnosť ulovených rýb rovnomerné náhodné rozdelenie medzi 0 kg a 1 kg.

Poznámka 1: Stredná hodnota je "asymptotický priemer", t.j. to číslo, ku ktorému by sa blížil aritmetický priemer chyteného počtu rýb v prípade, že by som takýmto spôsobom a za rovnakých podmienok rybačku neustále opakoval. Rovnomerné náhodné rozdelenie medzi 0 kg a 1 kg znamená to, že pravdepodobnosť, že ulovená ryba bude mať menej ako m kg, je rovná presne m (pre m medzi nulou a jednotkou). Mal by som však dodať, že náš príklad nie je úplne triviálny a ak ste sa so základmi pravdepodobnosti a matematickej analýzy dosiaľ nestretli, tak sa Vám bude riešiť dosť ťažko. Simulačne sa však výsledok dá celkom spoľahlivo "uhádnuť".

Poznámka 2: Túto úlohu už údajne poznal Laplace, hoci formulácia s rybami je novšieho dáta.

Poznámka 3: Keď ukončíme súťaž o najkrajšiu matematickú úlohu, zorganizujem súťaž o najkrajší matematický obrázok. Čo vy na to?

13 komentárov:

Tychi povedal(a)...

Tak to už bych si fakt měla pospíšit(:
A pro soutěž o nej obrázek hlasuju, matematické obrázky jsou super. Svůj nej mám už dávno vybraný, i když to není nic krásného(o:

Radoslav Harman povedal(a)...

Tak pošli niečo, Tychi. Bola by to už tretia úloha z Čiech. (Inak 29.4. mám na Pražskom matfyze prednášku na seminári katedry pravdepodobnosti a štatistiky; už som tam nebol dlhé roky...)

K tomu obrázku: Ak máš na mysli to svoje logo zo "svetielkujúceho" geomagu, tak to je síce jednoduchý, ale náhodou veľmi pekný obrázok.

Tychi povedal(a)...

Tu katedru já nerada a Praha je daleko. Každopádně matfyz pozdravuj, mám na Karlín spoustu pěkných vzpomínek.
Logo mě ani nenapadlo. Můj nej obrázek je cosi, co si v hlavě rýsuju, když si vzpomenu na gympl. I když si obvykle musím dohledat informace, protože zapomínám..

Radoslav Harman povedal(a)...

Neviem prečo som si myslel, že na Pražskom matfyze ešte stále študuješ. A inak, prečo nemáš rada tú katedru? Ja z nej osobne poznám viacerých docentov a profesorov a všetci sú to veľmi príjemní a inteligentní ľudia.

Tychi povedal(a)...

Kdepak, už jsem skoro čtvrtým rokem úspěšně pryč.
Katedru .. asi spíš ten obor. Pravděpodobnost se statistikou mi nějak nelezly do hlavy. A ta zkouška tam tenkrát v tom hicu v zakouřené zatuchlé pracovně na tomhle postoji ke katedře nic nevylepšila(o: Ale pár profesorů jsem občas ráda potkala. Moje spolubydlící a vedlebydlící na této katedře studovaly, takže mám víc informací od nich než svých vlastních.

Radoslav Harman povedal(a)...

OK. Pravdepodobnosť a štatistika nevyhovuje každému človeku ani spomedzi veľmi šikovných ľudí. Najmä štatistiku treba trochu stráviť a ja sám som mal na začiatku voči jej metódam veľké výhrady. Niežeby som teraz už nemal, ale beriem to viac s rezervou a pragmaticky; štatistické metódy sú predovšetkým nástrojom a hodnotia sa najmä podľa toho, ako sa ukazujú byť užitočné, napriek všetkým možným metodologickým výhradám. A občas generujú pekné čisto matematické problémy.

Ale nechajme túto tému tak a vráťme sa k pôvodnému príspevku; napríklad plynule takto: Jedného profesora z Pražskej KTPMŠ, konkrétne J. Anděla, som stretol v decembri na konfrencii v Bratislave. A práve z jeho knižky "Matematika náhody" mám tú formuláciu príkladu s rybami.

misof povedal(a)...

Zlatá úloha :)

Moje riešenie: Predstavme si, že sme už ulovili N rýb. Pravdepodobnosť P(N) toho, že dokopy majú menej ako kilo, je 1/N!. Očakávaný počet ulovených rýb je suma P(N) cez všetky N, a to je zjavne e=2.71...

To, že P(N)=1/N! sa dá napríklad dokázať tak, že indukciou dokážeme všeobecnejšie tvrdenie: pre L<=1 je pravdepodobnosť P(N,L) toho, že má prvých N rýb dokopy menej ako L, rovná L^N/N!. Indukčný krok plynie z toho, že P(N+1,L) = integrál od 0 po L z P(N,t) dt.

Alebo sa to dá rovno uvidieť. Všetky možnosti, koľko váži ktorá z N rýb, tvoria N-rozmernú hyperkocku, a tej hyperobjem je 1. Tie možnosti, pri ktorých je súčet <1, tvoria pravouhlý simplex (hyperihlan) s vrcholmi v 0 a susedných vrcholoch hyperkocky, a jeho hyperobjem je 1/N!.

Zaujímavá otázka číslo dva: Keď robím tento pokus, aká je očakávaná celková hmotnosť rýb, čo ulovím?

Radoslav Harman povedal(a)...

misof: Je to naozaj tak, stredná hodnota počtu ulovených rýb je presne e. Tá otázka o strednej hodnote hmotnosti ulovených rýb už asi nie je taká ľahká; keď budem mať viac času, tak si to hodím na papier.

...

Misofove riešenie je samozrejme správne ale dosť stručné, takže ak by mal niekto záujem, môžem ho vysvetliť trochu podrobnejšie. (Neviem však zdôvodniť ako sa dá s "uvidieť", že n-rozmerný "hyperihlan", ktorého vrcholy su jednotkové vektory a nulový vektor, má objem 1/N! :-)

tina povedal(a)...

S tym hyperihlanom sa to da posunut o "krok" dalej. Staci dokazat ze objem k-rozmerneho "hyperihlana" je "zakladna krat vyska deleno k". Plati to pre 2d aj 3d, takze predpokladajme ze to vieme dokazat pre lubovolne k.

Potom je objem n-rozmerneho "hyperihlana" rovny 1/n krat zakladna krat vyska, co je 1/n krat objem n-1 rozmerneho "hyperihlana" krat jedna, a pre 1D vieme ze V_1=1, cize V_n=1/n!.

Vie niekto elegantny dokaz (bez integralov) preco objem 3D ihlana je zakladna krat vyska deleno 3?

Brano povedal(a)...

Ja viem taky, co neviem trivialne zpvseobecnit na N rozmerov. Do kocky sa vojde 6 rovnakych ihlanov s vrcholom v tazisku kocky, teda objem je zakladna*(2*vyska)/6. Vseobecny ihlan treba uz dotuknut pomocou napr. Cavalieriho principu (ci tak nejak sa volal), ale na jeho dokaz asi treba integral :-(

co sa tyka strednej hodnoty hmotnosti tych ryb tak prvy odhad by bol e/2 kedze stredny pocet je e a stredna hmotnost 0.5, ale bol by som prekvapeny, keby to bolo presne, lebo tam budu asi este nejake korekcie s variancii, stalo by to asi za normalny vypocet

Radoslav Harman povedal(a)...

Nie som si isty, ale mozno by sa dalo vo vseobecnosti ukazat cosi podobne ako pise brano pre trojrozmerny pripad; nejakym trikom zdovodnit, ze n-rozmerna kocka sa da rozbit na n! hyperihlanov, ktore musia mat rovnaky objem ako ten kanonicky hyperihlan, napriklad preto, ze su len jeho ortogonalnou rotaciou.

S tou strednou hodnotu celkovej hmotnosti e/2 je to mozno uplne spravne, bez akychkolvek dalsich korekcii. Totiz formalne, celkova hmotnost ryb, ktore chytime, je X_1+..+X_N, kde N je pocet ryb, ktore chytime a X_i je hmotnost i-tej chytenej ryby.(Sucet nahodneho poctu nahodnych premennych.) Ale ak kazda z tych nahodnych premennych ma rovnake rozdelenie, tak sa da myslim dokazat (urcite aspon za nezavislosti X_i s N-kom), ze E(X_1+...+X_N)=E(X_1)E(N) a to je presne ono.

tina povedal(a)...

No, podla hesla "ked sa ti nechce pocitat, tak to nasimuluj" mi to pre 10000 rybarov vychadza dost blizko e/2.

Radoslav Harman povedal(a)...

Mal by som si to preveriť, ale mám silný dojem, že ak X_i sú L1 iid a N je L1 markovovský čas pre náhodnú prechádzku tvorenú premennými X_i (čo u nás je), tak z Waldovych rovností naozaj plynie E(X_1+...+X_N)=E(X_1)E(N)=e/2. Už tomu e/2 dosť verím. (Vďaka tina za simulačnú podporu.)

Úloha má však zaujímavého kolegu, o ktorom asi napíšem ďalší príspevok. Spolu s touto strednou hodnotou celkovej hmotnosti ulovených rýb je to ešte zaujímavejšie.