25 februára 2009

Ryby II

Predpokladajme, že hmotnosť ulovených rýb má rovnomerné náhodné rozdelenie na intervale 0kg až 1kg, rovnako ako v prvom príklade o rybách. Tentoraz však pozmeníme pravidlo ukončenia rybačky:

Budem chytať ryby až dovtedy, kým neulovím prvú rybu, ktorá je ľahšia ako predchádzajúca ulovená ryba. (Domov si odnesiem aj túto ľahšiu rybu.) Aká je stredná hodnota počtu rýb, ktoré takto ulovím? Aká je stredná hodnota celkovej hmotnosti rýb, ktoré si odnesiem domov?

S úlohami o strednej hodnote počtu ulovených rýb som sa prvýkrát stretol vo veľmi peknej knihe "Matematika náhody" od profesora Jiřího Anděla z MFF UK v Prahe. Otázky týkajúce sa strednej hodnoty celkovej hmotnosti ulovených rýb sa však v tejto knihe neriešia, zrejme z toho dôvodu, že sú ťažšie. Ja sám ich neviem presvedčivo zodpovedať bez použitia dosť pokročilého aparátu teórie pravdepodobnosti. Kto ich zodpovie pomocou elementárnej matematiky, má môj obdiv.

5 komentárov:

Brano povedal(a)...

Ok, zeby znovu e?

model: nachytame si nekonecnu postupnost rybiciek a tu ideme skumat. Ak=udalost, ze prvych k rybyciek ma rastucu hmotnost. kedze kazda permutacia je rovnako pravdepodobna => P(A_k)=1/k! (pravd. ze sa nejake hmotnosti rovnaju je 0) P(A_k+1)=P(A_k+1|A_k)P(A_k) => P(A_k+1|A_k)=1/(k+1); P_k=pravdepodobnost, ze si odnesiem k+2 rybiciek P_k=P(\non A_k+2|A_k+1)P(A_k+1)=1/(k+2)/k!
E=sum(k+2)*P_k pre k=0,1,2,... = e.

Po vzore Radovych komentarov k rybickam I je stredna hmotnost e/2

takze stacila stredoskolska pravdepodobnost :-) a par nie az tak jasnych ale trochu intuitivnych uvah (o rovnosti a o strednej hmotnosti)

Radoslav Harman povedal(a)...

Braňo: Máš samozrejme pravdu, stredná hodnota počtu ulovených rybičiek a taktiež aj stredná hodnota celkovej hmotnosti rybičiek je rovnaká ako v prvom príklade o rybách a to napriek tomu, že tie dva pravidlá ukončenia rybačky sú veľmi odlišné.

Avšak s tou strednou hodnotou celkovej hmotnosti ulovených rýb je najťažší problém práve presne zdôvodniť, že je to stredná hodnota hmotnosti jednej rybičky krát stredná hodnota počtu rybičiek. Vo všeobecnosti totiž neplatí, že ak máš náhodné premenné X_i s rovnakou strednou hodnotou m a náhodnú premennú N nadobúdajúcu prirozdené čísla, tak E(X_N)=mE(N). Okolo výsledkov takéhoto typu je celá teória.

Jozef povedal(a)...

ja som to riesil na prvy pohlad trochu zlozitejsie, cez identifikatory (0 alebo 1), a cez ne sa da celkom dobre odvodit aj ta stredna hodnota hmotnosti (identifikator * hmotnost rybky). Vysledky som mal nezavisle od vas rovnake :)

Radoslav Harman povedal(a)...

Jozef: Fajn. Je pravda, že indentifikátory (niekedy nazývané aj indikátory) udalostí sú veľmi účinný nástroj na riešenie úloh o strednej hodnote. My tieto techniky trochu cvičíme v kontexte využitia linearity strednej hodnoty.

Ak budeš mať čas a chuť, mohol by si trochu načrtnúť ako si postupoval.

Jozef povedal(a)...

nuz teda.
Indikatory (ja som vedel, ze sa to nejako inak volalo, len som si nevedel spomenut:)) som volil takto:
X_0, X_1, ... su hmotnosti ulovenych rybiek.
Definujme si I_0 = 1 a I_1 = 1. (prve dve ryby mam naisto, bez ohladu na ich hmotnost).

I_i = 1 ak X_i-2 <= X_i-1 and I_i-1 = 1 (ak sa stane, ze nasledujuca ryba je lahsia ako predchadzajuca, tu za tou lahsou uz neberiem)
I_i = 0 inak
pre i = 2,3,4,...

E(I_k) = P(I_k=1) = 1/k!

nah.prem. Q = I_0 + I_1 + I_2 + I_3 + ... pocet ulovenych ryb
E(Q) = E(I_0) + E(I_1) + ... = e

nah.prem. M = X_0*I_0 + X_1*I_1 + X_2*I_2 + X_3*I_3 + ... hmotnost ulovenych ryb
E(M) = E(X_0*I_0) + E(X_1*I_1) + ...

Z definicie I_k sa da vidiet, ze je nezavisly od X_k, teda:
E(X_k*I_k) = E(X_k)*E(I_k)

E(X_k)=1/2 pre vsetky k=0,1,...
A potom E(M) = e/2

Tak nejako tak...