19 apríla 2009

Tip

V rámci svojej prípravy na počítačovú štatistiku som práve dočítal veľmi poučnú pedagogickú knihu "Teaching statistics - a bag of tricks" od Andrewa Gelmana a Deborah Nolanovej. Z tejto a aj z iných kníh týkajúcich sa vyučovania som si uvedomil, že pre kvalitnú prednášku je najdôležitejší eminentný záujem na tom, aby si študenti z prednášky odniesli čo najviac a hlavne veľmi dôkladná pravidelná príprava. Keď som si pomyslel na niektorých vyučujúcich, ktorých som osobne poznal, musel som sa len trpko pousmiať. (Hovorím však skôr o výnimkách, aspoň teda u nás na matfyze.) Ale nie o tom som chcel písať. Jedna aktivita so študentami, ktorá sa v tejto knihe spomína, ma inšpirovala k nasledovnej úlohe:

Hodím súčasne dvadsiatimi jednoeurovými mincami. Ak sa Vám podarí vopred uhádnuť, na koľkých z týchto mincí padne znak, tak Vám všetky mince, na ktorých padol znak, darujem, len si po ne musíte ku mne domov prísť. Ak by som predchádzajúce dve vety myslel vážne (čo nemyslím :-), aký počet padnutých znakov by ste si zvolili ako svoj tip?

Táto úloha je síce veľmi ľahká, ale ak by sa Vám zdala až triviálna, tak ste asi nevzali do úvahy všetky jej "praktické" aspekty.

12 komentárov:

Tychi povedal(a)...

Když Tip, tak Tip: 0.

Radoslav Harman povedal(a)...

Nuž, v Tvojom prípade, Tychi, je to naozaj dosť racionálny tip, pretože aj ak by si nejakú sumu vyhrala, tak by sa Ti kvôli nej neoplatilo z Čiech cestovať do Bratislavy. Ale pre niekoho iného by možno bol výhodnejší iný tip. :-)

Tychi povedal(a)...

No kdybys mi je poslal poštou, tak bych fakt řekla 20(o:

Radoslav Harman povedal(a)...

A nebolo by lepšie si radšej tipnúť trochu menej, ale výrazne si tým zvýšiť pravdepodobnosť výhry?

Tychi povedal(a)...

Rado, ono by bylo asi nejlepší zajímat se o měnu sousedů. Nějak jsem si v hlavě spojila zadní stranu eura se zadní stranou centu a vznikla mi tak mince, která měla na obou stranách znak((o: Proto ten tip 20.

Radoslav Harman povedal(a)...

OK Tychi. Idea toho príkladu nie je založená na tom, že by eurové mince boli niečím zvláštne; predpokladá sa, že znak aj neznak (aka "hlava") padá normálne s pravdepodobnosťou 1/2. Ide o to, že nie za každých okolností musí byť výhodné tipnúť si najpravdepodobnejší výsledok, ktorý je v tomto prípade 10 znakov.

Vladimír povedal(a)...

Na zaciatku, ked nemame ziadnu informaciu, tak by som asi aj ja volil 10/10, kedze je to najpravdepodobnejsie. Mozno by moje rozhodovanie bolo ovplyvnene v druhom hode. Napr. Ak v prvom hode padlo X znakov (a teda 20-X hlav), tak ak je X>10, potom by sa moj typ TipX pohyboval niekde na intervale (0,X). A naopak pre X<10 by som tipoval TipX na intervale (X,20).

Radoslav Harman povedal(a)...

Vlado: Koľko znakov padne pri prvom hode 20 mincami nemá vplyv na to koľko znakov padne pri druhom hode. Tak by to bolo len ak by výsledky jednotlivých hodov boli nejako stochasticky závislé, ale nič také som nemal na mysli. Naviac, hádzať budem len raz.

Mal som na mysli skôr toto: Ak by som si tipol 10 mincí, tak ich vyhrám s istou pravdepodobnosťou. Ak si tipnem 11 mincí, tak ich síce vyhrám s menšou pravdepodobnoťou, ale na druhej strane vyhrám viac! Koľko si mám tipnúť, aby môj očakávaný zisk bol čo najvyšší? A čo ak vezmem do úvahy aj to, že "prísť si pre výhru" ma taktiež niečo stojí?

Vladimír povedal(a)...

Hej, trochu som sa skor zadumal s tou pravdepodobnostou, nez s tou vyhrou samotnou. Ale bol to len moj typ, ako by som sa rozhodoval ja :). Takze, mame vlastne maximalizovat k*P(X=k) cez k=1,...,20 :).

Radoslav Harman povedal(a)...

Vlado: Áno, už sme veľmi blízko tomu, čo som zamýšľal. Ešte jedna drobnosť: Pre výhru si výherca musí prísť a aj tá cesta ho bude čosi stáť... (Inak gratulujem k úspechu na ŠVOČke.)

Peter Richtárik povedal(a)...

Nech X je pocet padnutych znakov, hadze sa n mincami. Nech f(k) = P(X=k)*k; t.j. ocakavany zisk (v asymptotickom zmysle) ak si tipneme ze padne k znakov. Oznacme symbolom (n;k) kombinacne cislo "n nad k", teda (n;k) = n!/(k!(n-k)!).

Potom f(k) = k*(n;k)*(0.5)^k*(0.5)^(n-k) = n!*(0.5)^n/[(k-1)!(n-k)!] (pre k=0 je f(k)=0, to mozeme vylucit z uvahy). Staci teda najst 1<=k<=n ktore minimalizuje funkciu g(k)=(k-1)!(n-k)!.

Vsimnime si teraz ze g(k+1) = g(k)*k/(n-k) pre 1 <= k < n.

Teda g(1) > g(2) > ... > g(k+1) pre k < n/2.

V nasom pripade je n = 20 a teda g(1) > g(2) > ... > g(10). Vsimnime si dalej ze g(10) = g(11) < g(12) < ... < g(20).

Takze optimalne k je k = 10 a k = 11. Ak by sme mali tuto hru hrat dlho, tak je jedno ci si tipneme 10 alebo 11, alebo to budeme striedat (kedze poctame strednu hodnotu, ktora dava zmysel len ked sa pokusy opakuju). Ak by som si ale mal tipnut len raz, tak by som si tipol k = 11 (vzladom na osobne preferencie jemne mensej sance vyhry ale vyssieho zisku).

Radoslav Harman povedal(a)...

Peťo: Fajn! Ale tipol by si si 11 aj v tom prípade, že by ťa cesta pre výhru stála presne 11 eur? :-)