07 septembra 2011

Polárny súčet kružníc

Keď som sa dnes zabával s Matlabom, natrafil som na jeden celkom pozoruhodný fenomén, ktorý ma v prvej chvíli prekvapil. Formulujme si ho ako úlohu.

V rovine máme zakreslených n kružníc C1,...,Cn prechádzajúcich počiatkom O súradnicovej sústavy. Každá priamka p prechádzajúca bodom O pretne kružnicu Ck v dvoch bodoch - v bode O a v bode, ktorý si označíme Ak(p). (Ak je priamka p dotyková ku kružnici Ck, tak definujeme Ak(p)=O.) Aká je množina všetkých bodov tvaru S(p)=A1(p)+...+An(p), kde p je priamka prechádzajúca počiatkom O? (Body sčítavame ako vektory.)


Táto úloha je možno trochu ťažšia, takže vítané sú aj čiatočné riešenia (napríklad riešenia pre špeciálne prípady), nápady, skrátka akékoľvek potenciálne zaujímavé komentáre.

12 komentárov:

Lev bez hrivy povedal(a)...

Nie ze by som mal riesenie... ale pripomenulo mi to pojem geometricke miesto bodov alias spolocnost s rucenim este menej ako obmedzenym v Stajerskom Hradci :D

misof povedal(a)...

Celkom pomoze uhadnut, kde ze je stred tej novej kruznice ;) a potom pri dokaze si to otocit tak, ze priamka predstavuje x-ovu os.

Radoslav Harman povedal(a)...

:)

goober povedal(a)...

Tááák... a predsa sa to dá vyriešiť aj "na jeden riadok" :-)

Rovnako ako v zadaní, stotožnime bod A s vektorom OA. Namiesto Radovej priamky p budeme uvažovať jednotkový vektor Phi v jej smere.

Polárny zápis rovnice kružnice hovorí, ze kružnica so stredom M, ktorá prechádza počiatkom O, má tvar C_M(Phi) = 2Phi, kde je skalárny súčin vektorov X a Y (t.j. keď vektor Phi postupne obehne všetky možné smery, vektory C_M(Phi) nakreslia príslušnú kružnicu). Inak, bod C_M(Phi) presne zodpovedá Radovmu A(p).

No a teraz je čas na to jednoriadkové riešenie -- keď M1, M2, ... Mn sú stredy tých kružníc, tak Radovský súčet C_M1(Phi) + C_M2(Phi) + ... + C_Mn(Phi) sa vďaka linearite skalárneho súčinu dá napísať ako C_{M1+M2+...+Mn}(Phi). No ale to znamená, že tá hľadaná množina je kružnica so stredom (M1+M2+...+Mn), prechádzajúca počiatkom O.

Brano povedal(a)...

Rad by som rozpisal gooberovo riesenie do euklidovskych suradnic tak ako sa zvyknu ucit na strednej (ak sa neurazi) aby sme si udrzali jenoduchu uroven :-)

Najprv rovnica kruznice prechadzjuca pociatkom

(x-x_k)*(x-x_k) = x_k*x_k

kde x, je polohovy vektor na kruznici, x_k je polohovy vektor pociatku a * je skalarny sucin.

teda x*x = 2x*x_k.

teraz si zoberme priamku so smerovym vektorom p = (cos(t),sin(t)) prechadzajucu pociatkom, cize

x = kp, kde k je z R.

dosadme do rovnice kruznice (aby sme dostali prienik) a dostaneme

x = (2p*x_k)p,

tym sme vsak aj ziskali parametricke vyjadrenie povodnej kruznice, pretoze ak menime t od 0 po 2pi tak prebehneme po kruznici dva krat. Teraz urobime Radov sucet

x(nove) = (2p*x_1)p+...(2p*x_n)p = [2p*(x_1+...x_n)]p,

co je parametricke vyjadrenie kruznice so stredom x_0 = x_1+...x_n prechadzajucej pociatkom.

Nie som si uplne isty, ci je to stredoskolska uroven, ale pokus to bol. :-)

Brano povedal(a)...

pardon, x_k nie je polohovy vektor pociatku, ale stredu kruznice - a to som to po sebe dva krat cital

Radoslav Harman povedal(a)...

Velmi elegantny dokaz, super!

Poznamka: Firefox (a mozno aj ine prehliadace) zle zobrazuje prave klucovu formulku, ktora ma byt C_M(Phi)=2Phi(Phi,M), kde (X,Y) je skalarny sucin vektorov X a Y. Goober asi pouzil v matematike standardne znacenie skalarneho sucinu znakmi, ktore maju v html specialny vyznam, co "pomyli" prehliadac.)

Ja som postupoval trochu inak: dokazal som si (relativne krkolomne), ze "polarnym suctom" dvoch kruznic prechadzajucich pociatkom je opat kruznica prechadzajuca pociatkom a pre lubovolny pocet kruznic mozeme uz pouzit "indukciu".

Tato uloha by sa dala roznym sposobom zovseobecnit, napriklad na "polarny sucet" n-rozmernych sfer (hranic n-rozmernych guli) prechadzajucich pociatkom.

Najblizsie dam na blog jednu ulohu, ktoru mi poslal Ondro Budac, no a to je teda ine kafe... Stay tuned.

goober povedal(a)...

Zlodejský Blogspot... ukradol mi tagy :-)

Moje pôvodné označenie bolo "menšítko, X, rúra, Y, väčšítko" (t.j. <X|Y>) a inšpirácia bola skôr vo fyzike ako v matematike. Ale nabudúce si už dám pozor a pozriem si aj ukážku príspevku, nech mi z toho nevyjde takýto nepodarok :-)

Lev bez hrivy povedal(a)...

Neukradol. Vybral poplatky alebo mýto, prípadne zdanil komentovanie... :D

Rori povedal(a)...

No ak ste si nezaplatili piano tak sa necudujte, ze vsetko nevidite .... :)

Michal povedal(a)...

Vzhľadom k dnešku neviem riešenie tvojej úlohy.
Ale pripomenulo mi to jednu úlohu, ako za pomoci kružidla, pravítka a ceruzky narysovať štvorec a kružnicu ktorých OBVODY budú zhodné.

Michal povedal(a)...

V minulom komentári /10.11.2011 12h43min/ som zabudol pripísať že v tej dajme tomu mojej úlohe, je pravítko bez tých dielikov a čísel, teda sa s ním nedá merať a miesto toho je treba merať za pomoci kružidla.