Hlasujte za najkrajšiu úlohu!

Hlasovanie o najkrajšiu úlohu je už ukončené; pozri výsledky. Nasleduje pôvodný text príspevku.

Nadišiel čas aby ste spomedzi našich 12 súťažných úloh vybrali tú najkrajšiu. Po istom čase zvažovania som sa rozhodol, že Vaše hlasovanie urobím prostredníctvom e-mailu. Tým sa vyrieši viacero problémov, napríklad sa zamedzí možnosti anketového vandalizmu, duplicitného hlasovania a okruh hlasujúcich sa zúži len na tých, ktorí majú o naše úlohy skutočný záujem, čo dáva záruku zodpovedného posudzovania. Naviac, od každého hlasujúceho môžem e-mailom dostať oveľa viac "bitov" informácie ako z bežnej ankety, ktorú poskytuje blogspot.

Ak Vás teda naša súťaž zaujala, pošlite mi prosím e-mail s usporiadaným zoznamom maximálne 8 úloh, ktoré sú podľa Vás z uverejnenej dvanástky najlepšie. Prvá úloha v zozname dostane od Vás 10 bodov, druhá 8 bodov, tretia 6 bodov, štvrtá 5 bodov, ..., až maximálne ôsma 1 bod, presne tak ako na pretekoch F1. Úlohy, ktoré nebudú vo Vašom zozname získavajú 0 bodov. Ten, koho úloha od Vás získa najvyšší bodový priemer*, stane sa víťazom našej súťaže (a odo mňa dostane knihou).

Samozrejme, nikto okrem mňa sa nedozvie ako ste ktorú úlohu zaradili; zverejním len celkové počty bodov prvých troch úloh. Hlasovanie ukončíme 30.5.2009, prípadne akonáhle dostanem 18 hlasovacích e-mailov (ako veľkých cien v F1-tke; takýto záujem o hlasovanie však nepredpokladám :-)

*Ak si Ty sám/sama autorom/autorkou niektorej z úloh, môžeš samozrejme hlasovať tiež. Po počiatočných pochybnostiach ohľadom objektívnosti ohodnotenia svojej vlastnej úlohy som sa rozhodol pristúpiť na Peťov návrh, totiž že autor z hlasovania vynechá svoju vlastnú úlohu, ale aby nebol znevýhodnený samotným faktom, že hlasoval, celkové hodnotenie úlohy budem počítať ako priemerné hodnotenie danej úlohy neautormi.

PS: Pre jednoduchosť uvediem kompletný zoznam úloh, ktorý si môžete napríklad skopírovať do vhodného programu a tam myškou usporiadať:

• Sto väzňov


• Zapadajúce množiny


• Problém lámání stébla


• Dve fľaše


• Prieskumná expedícia


• Ako si zašnurovať topánky


• Všetky uhly sú rovnaké


• Stěhovací problém


• Mount & Blade


• Mravce na tyči


• Pohľady


• Biliardové gule

Teším sa na Vaše hlasy!

Zauzlený problém

V prvom rade by som chcel poďakovať všetkým, ktorí sa zúčastnili nedávnej ankety. Jej výsledky nebudem podrobnejšie rozoberať, avšak musím poznamenať, že ma povzbudili a dozvedel som sa z nich dôležité informácie ohľadom ďalšieho smerovania blogu. Poďme ale k úlohe, ktorá sa vykľula z mojej sobotňajšej zábavy s kreslením v R-ku.


Na obrázku vyššie (kliknutím sa zväčší) máme zobrazené slučky z gumy. Ktoré z nich sú rovnaké v tom zmysle, že je ich možné dostať jednu z druhej len naťahovaním a deformovaním, nie však pretrhnutím a zliepaním?

Biliardové gule (súťažná úloha č.12)

Poslednú, dvanástu úlohu do našej súťaže vymyslel môj študent a súčasne spolupracovník Vladimír Lacko:

Na biliardovom stole v dokonalom svete matematických modelov máme položené tri gule A, B a C, všetky s polomerom r. Stredy gulí B a C sú navzájom vzdialené d cm a stred gule A má vzdialenosť h cm od priamky p spájajúcej stredy gulí B a C (pozri obrázok). Do gule A udrieme tágom tak, aby sa pohybovala rovnobežne s priamkou p. Aká môže byť maximálna vzdialenosť h, aby guľa A odrazila guľu B tak, že guľa B (bez odrazu od mantinela biliardového stola) následne narazí do gule C?

Onedlho napíšem príspevok ohľadom spôsobu určenia víťaza súťaže; tipnúť si víťaza netrúfam, pretože sme na moje veľké potešenie dostali množstvo naozaj super úloh. :-)

Pohľady (súťažná úloha č.11)

Jedenástu súťažnú úlohu nám poslal Jozef Gábik, študent 4. ročníka FMFI UK:

V kruhu je rozostavených n ľudí. Na povel si každý z nich úplne náhodne zvolí jedného človeka, ktorému sa pozrie do očí. Označme ako p(n) pravdepodobnosť, že sa nejaké pohľady stretnú. Aká je limita pravdepodobností p(n) pre n idúce do nekonečna? (T.j. aká je pravdepodobnosť p(n) pre "veľmi veľký" počet ľudí n?)

Táto pekná úloha je Jozefov vlastný nápad; inšpiráciou mu bola skutočná hra skautov v jeho zbore. Vzorové riešenie nemáme, takže som zvedavý, kto z Vás vypočíta správny výsledok ako prvý.

Alino a piškóty

Náš pes Alino má veľmi rád návštevy, no ešte radšej má piškóty. Keď príde návšteva, existuje len jediný spôsob ako sa ho aspoň na čas zbaviť: rozhádzať mu po zemi piškóty a kým ich všetky nepožerie, je od neho pokoj.

Avšak piškóty nám už zostali iba tri. Ako ich máme rozložiť do štvorcovej miestnosti s rohmi ABCD, aby trvalo Alinovi čo najdlhšie, kým ich všetky zožerie? Predpokladáme, že Alino začína svoju mlsnú prechádzku pri nás v rohu A a kráča konštantným tempom vždy priamou cestou k najbližšej piškóte. Ak sú dve piškóty rovnako vzdialené, vyberie si Alino úplne náhodne, za ktorou z nich sa vyberie. Zožratie piškóty mu trvá, samozrejme, zanedbateľne krátky čas. Keď už nie je čo jesť, vráti sa naspäť do rohu A, aby nás mohol opäť obšťastňovať.

Možno mi neuveríte, ale moji rodičia majú naozaj psa s menom Alino (bordeauxka doga na obrázkoch) a metódu rozhadzovania piškót skutočne občas používajú. Jedná sa teda o problém aplikovanej matematiky. :-)

Magická hviezda

Nemám už dnes síl seriózne pracovať a preto som sa rozhodol, že k rybám pridám ešte jednu matematickú úlohu úplne iného charakteru; na jej vyriešenie stačí vedieť sčitovať čísla od 1 do 12 :-). Mám ju z príjemnej a čerstvej knihy "Cabinet of Mathematical Curiosities" od známeho profesora z Warwicku Iana Stewarta.

Do krúžkov na obrázku doplňte čísla od 1 do 12 (každé z týchto dvanástich čísel je potrebné použiť práve raz), aby bol súčet každej štvorice čísel spojených úsečkou a taktiež šestice čísel na vonkajšej kružnici práve 26.

Poznámka 3.3.: V komentároch nájdete viaceré možné riešenia a iné zaujímavosti týkajúce sa tejto a podobných úloh.

Ryby II

Predpokladajme, že hmotnosť ulovených rýb má rovnomerné náhodné rozdelenie na intervale 0kg až 1kg, rovnako ako v prvom príklade o rybách. Tentoraz však pozmeníme pravidlo ukončenia rybačky:

Budem chytať ryby až dovtedy, kým neulovím prvú rybu, ktorá je ľahšia ako predchádzajúca ulovená ryba. (Domov si odnesiem aj túto ľahšiu rybu.) Aká je stredná hodnota počtu rýb, ktoré takto ulovím? Aká je stredná hodnota celkovej hmotnosti rýb, ktoré si odnesiem domov?

S úlohami o strednej hodnote počtu ulovených rýb som sa prvýkrát stretol vo veľmi peknej knihe "Matematika náhody" od profesora Jiřího Anděla z MFF UK v Prahe. Otázky týkajúce sa strednej hodnoty celkovej hmotnosti ulovených rýb sa však v tejto knihe neriešia, zrejme z toho dôvodu, že sú ťažšie. Ja sám ich neviem presvedčivo zodpovedať bez použitia dosť pokročilého aparátu teórie pravdepodobnosti. Kto ich zodpovie pomocou elementárnej matematiky, má môj obdiv.

Nové ankety

Poznámka 26.3.: Anketu sme už uzavreli. Jej výsledky si môžete pozrieť na tomto odkaze.

Na blogu QED je návštevníkov pomerne veľa; pred rokom som mal v priemere tak 50 návštev denne, posledné mesiace je to už približne 80. Zdá sa však, že väčšina ľudí sem zavíta jednorázovo, alebo dokonca tak trochu omylom. (Minule sa niekto dostal na QED po tom, čo si dal vyhľadávať slová blázon+matfyz. Ale toto práve omyl ani veľmi nebol. Omylom sa sem dostali skôr tí, ktorí vyhľadávali napríklad guličky+do+jazyka, alebo najnovšie+správy+z+bulváru.)

Rozhodol som sa preto urobiť malý prieskum Vašich názorov, ktorý by mohol pomôcť tento blog pre Vás trochu zatraktívniť.

V prvom formulári (pozri vpravo hore pod upútavkou na súťaž) sa Vás pýtam, ako často blog QED navštevujete. Ak ste tu už boli viackrát, vyplňte prosím aj druhý formulár, v ktorom sa Vás pýtam na Vaše celkové hodnotenie od A po Fx, ako na skúške. Prosím, nedávajte mi Fx len kvôli tomu, že nemáte radi matematiku. Hodnoťte skôr to, ako dobrý je tento blog pre tých, ktorí matematiku radi majú.

Najviac informácie môže priniesť tretí formulár; všimnite si, že v ňom môžete označiť viacero možností súčasne. Nezabudnite, že počet príspevkov mesačne z časových dôvodov nemôžem veľmi zvýšiť. (Nakoniec, keby som nerobil predovšetkým niečo iné ako písanie blogu, nemal by som veľmi o čom písať.) Takže napríklad nemá zmysel zaškrtnúť súčasne veľa políčok; ideálne tak okolo polovice.

Samozrejme, najlepšie ma usmerníte priamo komentárom k tomuto príspevku.

PS: Ak ste študentom matfyzu, vyplňte prosím aj anketu FMFI UK. Vám samotným, Vašim mladším spolužiakom a aj väčšine vyučujúcich Vaše hodnotenie, najmä to slovné, pomôže. Ale nezabudnite. Najúčinnejšia kritika je tá, ktorá je napísaná slušne a kultivovane. Urážlivé vyjadrenia ohľadom vyučujúcich môžu byť práve vodou na mlyn pre tých, ktorí by boli najradšej, keby sa Vaša (naša) anketa úplne zrušila.