Odmocniny ortogonálnych matíc

Počas písania predchádzajúceho príspevku ma napadol nasledovný problém, tentokrát však z kategórie ťažkých (možno by bol jemne netriviálny aj pre mojich kolegov z algebry; teda aspoň ja ho neviem uspokojivo vyriešiť).

Nech k je prirodzené číslo a nech U je ortogonálna matica typu m krát m. Nájdite predpis pre počet a metódu konštrukcie všetkých ortogonálnych matíc V, pre ktoré platí U=V^k.

Keď som sa nad týmto problémom trochu zamyslel, dospel som k názoru, že práve takáto úloha môže byť vhodná na "kolektívne" riešenie. Urobme teda pedagogický experiment: Keď Vás napadne niečo nové a relevantné, napíšte to do komentáru a spoločne sa budeme snažiť prísť problému na kĺb. Ja sám sa nebudem snažiť tento problém intenzívne riešiť, iba možno občas napíšem nejaký motivačný postreh. Tiež sa nebudem pýtať na riešenie mojich kolegov, ktorí sa veľmi dobre v danej problematike orientujú, pretože vážne hrozí, že by nám úlohu hneď vyriešili a pokazili by nám radosť z objavovania :-) Možno sa nám podarí trochu poodhaliť kreatívny proces matematického uvažovania a pritom sa aj vzdeláme vo veľmi zaujímavej a dôležitej oblasti. Takže na úvod len niekoľko postrehov.

Postreh 1 (algebraický): Ak je k párne, tak je nutnou podmienkou existencie aspoň jednej k-tej odmocniny matice U rovnosť det(U)=1, t.j. U musí byť takzvanou špeciálnou ortogonálnou maticou, resp. maticou rotácie. Dôkaz: Všimnime si, že determinant akejkoľvek ortogonálnej matice V môže byť iba +1 alebo -1: Z definície ortogonality V máme VV^T=I, kde I je jednotková matica a zo základných vlastností determinantu máme

1=det(I)=det(VV^T)=det(V)det(V^T)=det(V)².

Teda det(U)=det(V^k)=det(V)^k=1. QED.

Postreh 2 (geometrický): Ak by sme hľadali riešenia V s determinantom 1, tak vlastne hľadáme takú "rotáciu" V, ktorej k-násobným opakovaným použitím dostaneme zadanú "rotáciu" U. Dá sa ale tušiť, že každá rotácia U sa dá poskladať z k-opakovaných rotácií V, t.j. naša domnienka je, že det(U)=1 je postačujúcou podmienkou na existenciu aspoň jednej k-tej odmocniny matice U.

Postreh 3 (algebraický): Pre niektoré ortogonálne matice U existuje viac ako jedna k-ta odmocnina: Napríklad, ako jednotková matica I, tak aj matica -I je ortogonálna a platí I=I.I, ale aj I=(-I)(-I).

Postreh 4 (4.12.07): Už pre jednotkovú maticu I typu 2x2 existuje nespočítateľne veľa druhých odmocnín! Ako sa dá ľahko skontrolovať, pre každé reálne θ je nasledovná matica ortogonálna druhá odmocnina matice I.



Postreh 5 (5.12.07). Predchádzajúca matica je len špeciálny prípad širokej triedy ortogonálnych druhých odmocnín jednotkovej matice I typu mxm. Môžete si skontrolovať, že ortogonálnou druhou odmocninou matice I je každá matica V tvaru

kde u₁,...,u_m je systém navzájom kolmých vektorov dĺžky 1 a i₁,...,i_m sú 0 alebo 1. To teda znamená, že jednotková matica mxm pre akékoľvek m>=2 má nekonečne veľa ortogonálnych druhých odmocnín.

A ako som na tento predpis pre V prišiel? Ako je to so zdanlivo komplikovanými matematickými vzorcami časté, myšlienky, ktoré k nim vedú, sú založené na veľmi jednoduchých geometrických predstavách, analógiách a mechanických formálnych postupoch. (Niekedy je však ťažké tieto postupy zrozumiteľne popísať. Na druhej strane občas akoby niektorí prehnane ctižiadostiví matematici svoje postupy zámerne tajili aby sa mohli vyťahovať svojimi úžasnými formulkami. Podobne ako David Copperfield neprezradí sériu triviálnych fínt, na ktorých sa zakladá na prvé videnie prekvapivý výsledný efekt :-)

Takže najprv som si uvedomil, že matica z Postrehu 4 zodpovedá preklopeniu roviny okolo nejakej priamky prechádzajúcej počiatkom súradnicovej sústavy. To je ale taká transformácia roviny, ktorá nechá jednotkový smerový vektor u danej priamky nezmenený a druhý jednotkový vektor, kolmý na u, preklopí na opačný. Analogické transformácie sa predsa dajú skonštruovať v ľubovoľnom priestore! Ak by sme mali akýkoľvek systém navzájom kolmých jednotkových vektorov, tak môžeme vytvoriť transformáciu, ktorá niektoré z týchto vektorov preklopí a iné nechá nezmenené. Je úplne zrejmé, že dvojnásobné použitie tejto transformácie opäť vráti všetky vektory do pôvodnej polohy! Je už len záležitosťou základnej techniky lineárnej algebry z prvého ročníka formálne zapísať maticu V, ktorá tomuto preklápaniu zodpovedá.

Čo sa teda týka ortogonálnych druhých odmocnín jednotkových matíc, tento špeciálny prípad pôvodného problému už máme skoro vyriešený, hoci ešte by sme sa mohli spýtať, či existujú aj ortogonálne druhé odmocniny jednotkovej matice, ktoré nie sú typu matice V popísanej vyššie. (Tipol by som si, že nie.) Trochu ťažšie, ale stále nie úplne všeobecné otázky sú nasledovné: Ako skonštruovať triedu všetkých k-tych odmocnín jednotkovej matice pre k>2? Je množina všetkých tretích ortogonálnych odmocnín jednotkovej matice typu 2x2 konečná, alebo je nekonečná? Ako skonštruovať druhú odmocninu z akejkoľvek zadanej ortogonálnej matice (s determinantom 1)?

...

Máte nejaké nápady?