21 novembra 2007

Odmocniny ortogonálnych matíc

Počas písania predchádzajúceho príspevku ma napadol nasledovný problém, tentokrát však z kategórie ťažkých (možno by bol jemne netriviálny aj pre mojich kolegov z algebry; teda aspoň ja ho neviem uspokojivo vyriešiť).

Nech k je prirodzené číslo a nech U je ortogonálna matica typu m krát m. Nájdite predpis pre počet a metódu konštrukcie všetkých ortogonálnych matíc V, pre ktoré platí U=Vk.

Keď som sa nad týmto problémom trochu zamyslel, dospel som k názoru, že práve takáto úloha môže byť vhodná na "kolektívne" riešenie. Urobme teda pedagogický experiment: Keď Vás napadne niečo nové a relevantné, napíšte to do komentáru a spoločne sa budeme snažiť prísť problému na kĺb. Ja sám sa nebudem snažiť tento problém intenzívne riešiť, iba možno občas napíšem nejaký motivačný postreh. Tiež sa nebudem pýtať na riešenie mojich kolegov, ktorí sa veľmi dobre v danej problematike orientujú, pretože vážne hrozí, že by nám úlohu hneď vyriešili a pokazili by nám radosť z objavovania :-) Možno sa nám podarí trochu poodhaliť kreatívny proces matematického uvažovania a pritom sa aj vzdeláme vo veľmi zaujímavej a dôležitej oblasti. Takže na úvod len niekoľko postrehov.

Postreh 1 (algebraický): Ak je k párne, tak je nutnou podmienkou existencie aspoň jednej k-tej odmocniny matice U rovnosť det(U)=1, t.j. U musí byť takzvanou špeciálnou ortogonálnou maticou, resp. maticou rotácie. Dôkaz: Všimnime si, že determinant akejkoľvek ortogonálnej matice V môže byť iba +1 alebo -1: Z definície ortogonality V máme VVT=I, kde I je jednotková matica a zo základných vlastností determinantu máme

1=det(I)=det(VVT)=det(V)det(VT)=det(V)2.

Teda det(U)=det(Vk)=det(V)k=1. QED.


Postreh 2 (geometrický): Ak by sme hľadali riešenia V s determinantom 1, tak vlastne hľadáme takú "rotáciu" V, ktorej k-násobným opakovaným použitím dostaneme zadanú "rotáciu" U. Dá sa ale tušiť, že každá rotácia U sa dá poskladať z k-opakovaných rotácií V, t.j. naša domnienka je, že det(U)=1 je postačujúcou podmienkou na existenciu aspoň jednej k-tej odmocniny matice U.

Postreh 3 (algebraický): Pre niektoré ortogonálne matice U existuje viac ako jedna k-ta odmocnina: Napríklad, ako jednotková matica I, tak aj matica -I je ortogonálna a platí I=I.I, ale aj I=(-I)(-I).

Postreh 4 (4.12.07): Už pre jednotkovú maticu I typu 2x2 existuje nespočítateľne veľa druhých odmocnín! Ako sa dá ľahko skontrolovať, pre každé reálne θ je nasledovná matica ortogonálna druhá odmocnina matice I.



Postreh 5 (5.12.07). Predchádzajúca matica je len špeciálny prípad širokej triedy ortogonálnych druhých odmocnín jednotkovej matice I typu mxm. Môžete si skontrolovať, že ortogonálnou druhou odmocninou matice I je každá matica V tvaru

kde u1,...,um je systém navzájom kolmých vektorov dĺžky 1 a i1,...,im sú 0 alebo 1. To teda znamená, že jednotková matica mxm pre akékoľvek m>=2 má nekonečne veľa ortogonálnych druhých odmocnín.

A ako som na tento predpis pre V prišiel? Ako je to so zdanlivo komplikovanými matematickými vzorcami časté, myšlienky, ktoré k nim vedú, sú založené na veľmi jednoduchých geometrických predstavách, analógiách a mechanických formálnych postupoch. (Niekedy je však ťažké tieto postupy zrozumiteľne popísať. Na druhej strane občas akoby niektorí prehnane ctižiadostiví matematici svoje postupy zámerne tajili aby sa mohli vyťahovať svojimi úžasnými formulkami. Podobne ako David Copperfield neprezradí sériu triviálnych fínt, na ktorých sa zakladá na prvé videnie prekvapivý výsledný efekt :-)

Takže najprv som si uvedomil, že matica z Postrehu 4 zodpovedá preklopeniu roviny okolo nejakej priamky prechádzajúcej počiatkom súradnicovej sústavy. To je ale taká transformácia roviny, ktorá nechá jednotkový smerový vektor u danej priamky nezmenený a druhý jednotkový vektor, kolmý na u, preklopí na opačný. Analogické transformácie sa predsa dajú skonštruovať v ľubovoľnom priestore! Ak by sme mali akýkoľvek systém navzájom kolmých jednotkových vektorov, tak môžeme vytvoriť transformáciu, ktorá niektoré z týchto vektorov preklopí a iné nechá nezmenené. Je úplne zrejmé, že dvojnásobné použitie tejto transformácie opäť vráti všetky vektory do pôvodnej polohy! Je už len záležitosťou základnej techniky lineárnej algebry z prvého ročníka formálne zapísať maticu V, ktorá tomuto preklápaniu zodpovedá.

Čo sa teda týka ortogonálnych druhých odmocnín jednotkových matíc, tento špeciálny prípad pôvodného problému už máme skoro vyriešený, hoci ešte by sme sa mohli spýtať, či existujú aj ortogonálne druhé odmocniny jednotkovej matice, ktoré nie sú typu matice V popísanej vyššie. (Tipol by som si, že nie.) Trochu ťažšie, ale stále nie úplne všeobecné otázky sú nasledovné: Ako skonštruovať triedu všetkých k-tych odmocnín jednotkovej matice pre k>2? Je množina všetkých tretích ortogonálnych odmocnín jednotkovej matice typu 2x2 konečná, alebo je nekonečná? Ako skonštruovať druhú odmocninu z akejkoľvek zadanej ortogonálnej matice (s determinantom 1)?

...

Máte nejaké nápady?

3 komentáre:

Ruziklan povedal(a)...

Vzhladom k zameraniu, ktore som vystudoval, sa predpoklada, ze by som sa v problematike mal trochu orientovat. Ale presne riesenie nepoznam, clovek zabuda, takze Ti to uplne nepokazim. Len nadhodim take dve myslienky.
1. Vies si predstavit maticu, z ktorej by si odmocninu vedel urobit?
2. A ak ano, ako by si z lubovolnej ortogonalnej matice taku maticu vyrobil?

Radoslav Harman povedal(a)...

No napriklad pre akukolvek ortogonalnu maticu typu 2x2 sa da popisat mnozina vsetkych k-tych odmocnin (mozno to niekedy spisem; je to velmi jednoduche, ale celkom pekne). Pre ortogonalne matice 3x3 je to uz trochu tazsie a neda sa automaticky zovseobecnit postup z dvojrozmerneho priestoru. Samozrejme nie je tazke najst nejaku ortogonalnu maticu a k nej odmocninu, napriklad I=I.I :-). Problemom je vsak najst mnozinu vsetkych odmocnin a to pre zadanu maticu. Budem nad tym trochu uvazovat ked bude viac casu, ale ak by sme chceli izolovat jadro problemu, tak sa mozeme zamysliet nad takymto asi najjednoduchsim problemom, ktoreho riesenie neviem:

Nech I je jednotkova matica typu 3x3 a nech R2(I) je mnozina vsetkych ortogonalnych matic U typu 3x3, pre ktore plati I=U.U. Je mnozina R2(I) konecna, alebo nekonecna?

Radoslav Harman povedal(a)...

Tak uz som si to premyslel; mnozina vsetkych druhych odmocnin z jednotkovej 3x3 matice je nekonecna (pridal som to ako poznamku k hlavnemu clanku).