Pravdepodobnosť a demokracia

Prvý príklad z klasickej zbierky pravdepodobnostných príkladov od Fredericka Mostellera znie nasledovne: Traja sudcovia A,B a C nezávisle rozhodujú medzi dvomi alternatívami. Vieme, že pravdepodobnosť pA správneho rozhodnutia sudcu A je rovnaká ako pravdepodobnosť pB správneho rozhodnutia sudcu B, t.j. pA=pB=p. Sudca C však založí svoje rozhodnutie na hode mincou, čiže jeho pravdepodobnosť správneho rozhodnutia je pC=1/2. Výsledné rozhodnutie poroty bude také, za ktoré bude hlasovať väčšina sudcov. S akou pravdepodobnosťou dospeje porota k správnemu rozhodnutiu? Odpoveď je presne p, čiže náš „flippant juror“ C úplne eliminuje vplyv jedného zo sudcov A a B. Tým Mostellerov príklad končí.

My však poďme trochu ďalej a položme si otázku: "Aká by bola situácia, ak by bol sudca A lepší než sudca B, napríklad ak by sme mali pA=90%, pB=89,9% a pC=50%"? Dá sa ľahko ukázať, že potom by optimálnou rozhodovacou stratégiou poroty ako celku bolo rozhodovať len na základe sudcu A, t.j. úplne ignorovať hlas nielen mincového sudcu C, ale aj relatívne veľmi dobrého sudcu B. Ako je to teda vo všeobecnosti s výberom optimálnej skupinovej stratégie rozhodovania troch sudcov v závislosti od ich pravdepodobností správneho rozhodnutia pA, pB a pC?

Všetkých stratégií skupinového rozhodovania trojčlennej poroty je, v istom dobre definovanom zmysle, 256 a pre každú kombináciu pravdepodobností pA, pB, pC je možné nájsť tú najlepšiu stratégiu metódou "hrubej sily" na počítači. Keď položíme pevne pA=0,75 a pre rôzne kombinácie hodnôt pB a pC v rozmedzí 0,5 až 1 farebne zaznačíme optimálnu stratégiu, dostaneme nasledovný obrázok.


Farby oranžová, červená a žltá zodpovedajú situáciám, kedy je optimálne ignorovať všetkých okrem toho, kto správne rozhoduje s najväčšou pravdepodobnosťou. (Predstavte si napríklad rodiča s dvomi malými deťmi :-) Modrou farbou je zobrazená oblasť tých dvojíc (pB,pC), pri ktorých je optimálnym „demokratický“, t.j. väčšinový rozhodovací systém. Vidíme, že tento systém je optimálny, voľne povedané, v prípade, že sú všetci traja podobne, ale zďaleka nie nutne rovnako dobrí. Všimnite si napríklad, že bod so súradnicami (0,72; 0,69) leží v modrej oblasti, takže pre pA=0,75, pB=0,72 a pC=0,69 je optimálnym väčšinový rozhodovací systém.

Na nasledovnom obrázku sú znázornené pravdepodobnosti správnych rozhodnutí poroty pri optimálnej stratégii skupinového rozhodovania (opäť v závislosti od pB a pC pri pevnom pA=0,75).
Z obrázku a aj bez neho je zrejmé, že žiadna stratégia plne založená na rozhodovaní len jediného človeka nemôže priniesť kvalitu rozhodovania lepšiu ako je kvalita samotného "diktátora". To sa ale nedá povedať o demokratickej rozhodovacej stratégii. V súlade s intuíciou aj našim modelom, demokratická stratégia vedie k takému rozhodovaniu celej skupiny, ktoré môže byť podstatne kvalitnejšie, než umožňujú schopnosti ktoréhokoľvek zúčastneného jednotlivca.

Poznámky: Pochopiteľne na hraniciach medzi oblasťami prislúchajúcimi rôznym optimálnym stratégiám je súčasne optimálnych viacero stratégií. Najzaujímavejší je tento fenomén asi v bodoch, kde sa stretávajú dve "diktátorské" optimálne stratégie s demokratickou optimálnou stratégiou (zelené bodíky). Inak teoreticky zaujímavé, ale asi pomerne ťažké, by bolo študovať optimálne stratégie pre počet sudcov väčší ako 3. Počet všetkých stratégií pre n sudcov je 2 na (2 na n), čiže už pre povedzme n=7 neprichádza výpočet hrubou silou do úvahy.
Poznámka 8.11.: Kuriózne optimálne stratégie skupinového rozhodovania vznikajú vtedy, keď niektorí zo sudcov majú pravdepodobnosť správneho rozhodnutia menšiu ako 50%. Napríklad ak pA=80%, pB=15% a pC=50%, potom je najlepšou stratégiou rozhodovania ignorovať sudcov A, C a ako výsledok zobrať opačné rozhodnutie ako je rozhodnutie sudcu B :-)