11 septembra 2016

100 vrabcov

Na kruhovú obruč polomeru 10 metrov si náhodne a nezávisle sadne 100 vrabcov. Odhadnite (intuitívne, simulačne, analyticky, akokoľvek) pravdepodobnosť, že ťažisko tohto kŕdľa sediacich vrabcov bude vzdialené menej ako 1 meter od stredu obruče.

4 komentáre:

Michal Forišek povedal(a)...

Ak dobre počítam, pre jedného vrabca má x-ová súradnica mean 0 a variance 50. Pre priemer 100 vrabcov má teda x-ová súradnica zhruba normálne rozdelenie, mean je stále 0 a variance okolo 1/2, čiže stdev okolo 1/sqrt(2). Vzdialenosť tažiska od stredu by mala byť v priemere rovná sqrt(2)-krát vzdialenosti ťažiska od stredu v smere osi x, takže rozumný odhad vyzerá byť, že pravdepodobnosť, že ťažisko je do metra od stredu, je zhruba rovná pravdepodobnosti, že normálne rozložená náhodná premenná leží do 1*stdev od meanu.

Vzhľadom na level použitého mávania rukami budem teda tipovať "tak niekde v okolí dvoch tretín".

Radoslav Harman povedal(a)...

Mišo, super odhad!

Skutočne je tá pravdepodobnosť medzi 0,6 a 0,7. Ten odhad sa dá ešte spresniť keď si človek uvedomí, že nielen x-ová súradnica ťažiska má podľa centrálnej limitnej vety (skoro presne) normálne rozdelenie, ale rozdelenie priemetu projekcie na akúkoľvek priamku je (skoro presne) normálne. Tým pádom je rozdelenie náhodného vektora zodpovedajúceho ťažisku (skoro presne) združene normálne, s nezávislými, rovnako rozdelenými zložkami. Druhá mocnina normy takéhoto náhodného vektora je násobkom chíkvadrát rozdelenia s dvomi stupňami voľnosti, čo je exponenciálne rozdelenie...

Ondrej Klbik povedal(a)...

Empirickým prístupom som abstrahoval od kruhu vrabcov a rozdelil som ich na 4 skupiny - tí, čo sedia vľavo, vpravo, hore a dolu.
V Exceli som si nasimuloval 100 vrabcov (jedna z vecí čo som nečakal že niekedy napíšem) a náhodne ich rozdelil do týchto štyroch smerov. Vypočital som posun ťažiska od stredu v každej z osí vľavo/vpravo a hore/dolu pomerom počtu vrabcov (intuitívne verím, že sa ťažisko takto správa). Zrátal som ako často sú oba menšie než 0,1, čo je želaný výsledok.
Takýmito 1000 simuláciami som dospel k pravdepodobnosti veľmi tesne okolo 0,7, ale tiež som pri tom veľa mávam rukami :)

Radoslav Harman povedal(a)...

Zdravím Ondro :)

Super odhad, fajn. To ťažisko sa správa tak ako si intuitívne odhadol; dá sa ukázať, že ťažisko je skrátka pozložkový priemer súradníc polohy vrabcov, nech by boli ti vrabci kdekoľvek.

Som potešený, že ešte stále občas na tento blog niekto zablúdi, hoci posledné roky už nemám čas sa mu venovať a ak ma náhodou napadne niečo potenciálne zaujímavé, skôr to uverejním pre priateľov na facebooku.

Nech sa darí!