17 decembra 2007

Trojuholníky a determinant

Intuícia mi hovorí, že by mala platiť nasledovná veta; pokúsme sa ju dokázať (prípadne vyvrátiť kontrapríkladom, ale to by ma trochu mrzelo :)

Nech trojuholník abc je podmnožinou trojuholníka ABC. Vyjadrime body a,b,c ako konvexné kombinácie bodov A,B,C, t.j. nech


kde αi1i2i3=1 pre všetky i a αij je nezáporné pre všetky i,j. Uvažujme maticu


Potom obsah Sabc trojuholníka abc a obsah SABC trojuholníka ABC sú vo vzťahu:


Poznámky: Myslím si, že táto úloha má potenciál inšpirovať veľa ďalších otázok. Napríklad: Platí analogické tvrdenie nielen pre trojuholníky, ale aj pre simplexy vyšších dimenzií (t.j. napríklad pre štvorsten)? Platilo by toto tvrdenie aj ak by trojuholník abc nebol podmnožinou trojuholníka ABC (a αij by mohli byť aj záporné)? Aký geometrický vzťah medzi trojuholníkmi (simplexami) reprezentujú špeciálne typy matíc M? Alebo: Ak by sme definovali determinant matice pomocou pomeru plôch trojuholníkov, nedali by sa priamo "vidieť" niektoré inak nie celkom prehľadné tvrdenia o determinante? Napríklad nebolo by možné geometricky zdôvodniť tvrdenie, že súčin determinantov matíc je determinant súčinu týchto matíc? A tak ďalej.
Poznámka 18.12.: Práve som zistil, že toto tvrdenie je známe; pozri vzťah (4) na tejto stránke mathworldu :-( ;-). Každopádne, poznámky pod znením úlohy môžu snáď viesť aj k niečomu aspoň trochu novému ...
Poznámka 23.12.: Všimnime si, že z našeho tvrdenia okamžite vyplýva to, že ak plocha trojuholníka ABC je jedna, tak koeficienty α11, α12 a α13 zodpovedajú presne plochám trojuholníkov aBC, AaC a ABa :-)

3 komentáre:

gurama povedal(a)...

no, musim povedat, ze zistenie v poznamke 18.12. ma riadne sklamalo, uz som sa nad tym problemom chcela zamyslat. :-) nedavno som sa totiz stretla s otazkou, ci sa niekde daju "vidiet" koeficienty v linearnej kombinacii vrcholov trojuholnika, ktora nam da nejaky konkretny bod vnutri trojuholnika. a tak sa mi zdalo, ze by som pri rieseni nemusela zacinat uplne od nuly. :-) ale nevadi, vsak uloh je na tomto blogu az-az... :-)

Radoslav Harman povedal(a)...

No, ja som tiez nebol nadseny, ked som zistil, ze toto tvrdenie je zname. S odstupom casu si vsak myslim, ze by bolo velmi naivne sa domnievat, ze by taketo relativne jednoduche pozorovanie mohlo byt originalne :-) Aj ked vtipny dokaz zovseobecnenia do n-rozmerneho priestoru by mozno bol publikovatelny v nejakom pedagogicko-matematickom casopise.

Pripadne by sa mohlo vyspekulovat ako si pomocou tohoto tvrdenia odvodit, ci zapamatat vlastnosti determinantu. Obavam sa vsak, ze za tymto ucelom by namiesto trojuholnika bolo lepsie narabat s determinantom priamo ako s objemom rovnobeznostena, ktoreho hrany zodpovedaju riadkom (alebo stlpcom) matice.

Ale inak je podla mna celkom vhodne toto tvrdenie poznat. Velmi rychlo sa nim totiz daju spocitat niektore veci ohladom trojuholnikov, pripadne simplexov.

Radoslav Harman povedal(a)...

Napadla ma celkom zaujimava uloha, o ktorej som si takmer isty, ze by ju slo riesit pomocou tohoto tvrdenia kombinujuceho trojuholniky a determinanty (ideu je mozne zovseobecnit v roznych smeroch):

Uvazujme problem obsahu nahodne vygenerovaneho trojuholnika vo vnutri ineho trojuholnika, co je zname pod pojmom triangle-triangle picking. Strednu hodnotu (prvy moment) obsahu takehoto nahodneho trojuholnika je mozne vypocitat rutinne, ale dost zdlahavo. Avsak druhy (a zrejme kazdy parny) moment je mozne zratat relativne rychlo prave pomocou nasho tvrdenia, linearity operatora strednej hodnoty a znamych vlastnosti Dirichletovho rozdelenia.

Na temu nahodnych dlzok, obsahov a objemov by sa dalo povymyslat vela peknych a pritom nie extremne tazkych problemov.