Banachov-Tarskeho paradox: časť 3: baby

Samotný Banachov-Tarskeho paradox nie je vôbec jednoduché dokázať, pretože pozostáva z pomerne veľkého počtu krokov. Avšak existujú aj také tvrdenia, ktoré v sebe obsahujú podobný kolaps intuície ako Banachov-Tarskeho paradox, no ich formálny dôkaz je relatívne krátky. Tieto tvrdenia sa nazývajú "baby Banach-Tarski" a my si teraz jedno takéto baby ukážeme.

Povieme, že reálne čísla x a y z intervalu [0,1] sú "ekvivalentné", zapisujeme x~y, ak je rozdiel x-y racionálne číslo. Relácia "~" je takzvanou reláciou ekvivalencie, pretože platí a) x~x, b) ak x~y, tak y~x a c) ak súčasne x~y a y~z, tak aj x~z. Relácia ~ rozkladá interval [0,1] na disjunktné "triedy ekvivalencie", t.j. na množiny navzájom ekvivalentných čísiel.

Jednou z tých tried ekvivalencií je napríklad množina všetkých racionálnych čísiel v intervale [0,1]. Ak s je akékoľvek fixné iracionálne číslo, tak všetky tie čísla s+q z intervalu [0,1], pre ktoré je q racionálne číslo, tiež tvoria triedu ekvivalencie. Je zrejmé, že každá z týchto tried ekvivalencie je spočítateľná množina, ale samotný počet týchto tried je nespočítateľný.

Všimnite si, že už tento rozklad intervalu [0,1] na triedy ekvivalencie je dosť nenázorný. Príslušné triedy ekvivalencie sú navzájom úplne "prepletené"; napríklad platí, že pre každé číslo x v intervale (0,1) a pre ľubovoľné dostatočne malé kladné ε obsahuje intervalík (x-ε, x+ε) nekonečne veľa prvkov z každej jednej tejto triedy ekvivalencie.

Každopádne, na základe axiómy výberu vieme z každej z týchto tried ekvivalencie vybrať po jednom čísle. Množina pozostávajúca z práve jedného zástupcu z každej triedy ekvivalencie sa nazýva Vitaliho množina a my ju budeme označovať symbolom V. (Samozrejme, takýchto výberov existuje nekonečne veľa, čiže aj Vitaliho množín je v zmysle našej definície nekončene veľa. My však budeme pracovať s jednou fixnou Vitaliho množinou V.)

Označme množinu racionálnych čísiel Q a množinu racionálnych čísiel v intervale [0,1] ako Q[0,1]. Keďže množiny Q[0,1] a Q sú obe nekonečné spočítateľné, tak existuje bijektívne zobrazenie f medzi množinami Q[0,1] a Q. To znamená, že pre každé racionálne číslo q existuje práve jedno racionálne číslo r z intervalu [0,1], pre ktoré platí f(r)=q.

Uvažujme nasledovné dva spočítateľné systémy množín.


Ľahko si dokážete platnosť nasledovných tvrdení.

1) Ako systém A, tak aj systém B pozostáva z navzájom disjunktných množín.
2) Každá množina zo systému A je podmnožinou intervalu [0,2].
3) Množiny systému B sú len posunutím množín systému A.
4) Zjednotenie množín zo systému B je množina všetkých reálnych čísiel.

Čiže, voľne povedané, množiny V+r, kde r je z Q[0,1], sa navzájom nijako neprekrývajú a všetky spoločne okupujú len istú časť intervalu [0,2]. No napriek tomu je ich možné poposúvať tak, že kompletne pokryjú celú reálnu priamku!

Ako je takéto niečo možné? Základom všetkých podobných paradoxov je existencia "nemerateľných množín", t.j. množín, ktorým principiálne nevieme priradiť "úhrnnú dĺžku" (v prípade štandardného Banachovho-Tarskeho paradoxu sa jedná o množiny, ktorým nie je možné nijako konzistentne priradiť "celkový objem"). V našom prípade je nemerateľnou množinu práve Vitaliho množina.