Zmeniť, či nezmeniť? To je otázka ...

Všade, kde som sa s nasledovným, už klasickým problémom stretol, vznikla búrlivá diskusia medzi dvomi zhruba rovnako početnými tábormi :-)

Sme účastníci súťaže. Pred nami sú tri nepriehľadné krabičky, pričom vieme, že práve jedna z týchto krabičiek obsahuje hodnotnú cenu a zvyšné dve sú prázdne. Náhodne sme ukázali na jednu z týchto krabičiek a následne, v súlade s pravidlami súťaže, moderátor náhodne odstránil jednu prázdnu krabičku spomedzi zvyšných dvoch. (Samozrejme, medzi dvomi krabičkami, na ktoré neukazujeme, je aspoň jedna prázdna.) Po tomto sme dostali šancu zmeniť svoje rozhodnutie a vybrať si tú druhú krabičku, ktorá ešte zostala na stole. Má nejaký zmysel krabičku zmeniť, alebo nie?

Nassim Nicholas Taleb: Fooled by Randomness

"Realism can be punishing. Probabilistic scepticism is worse. It is difficult to go about life wearing probabilistic glasses, as one starts seeing fools of randomness all around, in a variety of situations - obdurate in their perceptional illusion."

Jednu z viacerých kontroverzných myšlienok bestselleru Nassima Nicholasa Taleba "Fooled by randomness" by som zjednodušene opísal nasledovne:

V skoro každej oblasti ľudskej aktivity máme na výber množstvo rôznych stratégií konania, ktoré sa výrazne líšia strednou hodnotou aj varianciou potenciálneho zisku. Rozumný človek si volí obvykle tie z nich, ktoré mu so veľkou dávkou istoty zaručia slušný život, a to aj napriek tomu, že mu len s malou pravdepodobnosťou prinesú mimoriadne zisky. Avšak istý typ ľudí, často slepo odvážnych a inak skôr mdlých duchom, si volí stratégie s extrémnymi možnými ziskami, ktoré sa však spájajú aj s veľkým rizikom úplného zlyhania (krach, basa a podobne). Samozrejme, ak sa pozrieme na rebríček tých úplne najúspešnejších, najmä ak úspech meriame majetkom, tak medzi nimi bude väčšina ľudí z tejto druhej kategórie. Najinteligentnejší skrátka nie sú nijak výnimočne často zastúpení medzi tými najúspešnejšími (rozumej najbohatšími) a ani im to nie je možné nijak vyčítať, pretože

"A mistake is not something to be determined after the fact, but in the light of the information until that point."

Pochopiteľne, väčšina ľudí prijme takéto názory so zadosťučinením ;-)

Vo svojej knihe sa Taleb púšťa ako veľký ikonoklast do najvýznamnejších ľudí z finančného sveta, predstavuje ich v novom, menej oslnivom svetle, a pritom ich pomenováva skutočným menom (určite to viacerým muselo zdvihnúť mandle).

Kniha "Fooled by Randomness" sa príjemne číta kvôli svojmu humoru a širokému záberu - pre mňa osobne o to viac, že kladie do popredia pravdepodobnostné uvažovanie a simulácie metódami Monte-Carlo. Avšak všetko treba brať s istou dávkou skepticizmu ako každý čisto jednostranný pohľad .

Kľúčové slová: probability, risk, volatility, noise, law of large numbers, mean versus median, hindsight bias, survivorship bias, black swan theory, Monte Carlo simulations, evolutionary psychology, epistemology, Wall street, hedging, securities, Lucas critique, Karl Popper, Warren Buffett, Bill Gates, George Soros, Ulan Bator, dentistry :-)

Rudyho ontológie

Nasledovná klasifikácia ontológií je mierne modifikovaným a zhusteným zápisom myšlienok z knihy Rudyho Ruckera "The lifebox, the seashell, and the soul".

Definujme si nasledovné "množiny": V je množina všetkých procesov, ktoré sú výpočtom s konečným počtom pravidiel; M je množina všetkých procesov, ktoré je možné chápať ľudským rozumom; F je množina všetkých fyzikálnych procesov.

Zrejme budete súhlasiť s tým, že V<=F & V<=M (Pozri poznámku 1 a obrázok). Náš svetonázor je potom plne determinovaný jednou z nasledovných alternatív (v zátvorke sú Rudyho pomenovania a niektorí pravdepodobní prívrženci daných ontológií):

1. V=M=F (Universal automatism; Alan Turing)
2. V=M<F (Mechanism)
3. V<M=F (Physical antimechanism; Roger Penrose)
4. V<M<F (Common sense)
5. V=F<M (Supernaturalism)
6. V<F<M (Idealism; Kurt Gödel)
7. V=MF & V<M & V<F (Computationalism)
8. V<MF & V<M & V<F (Plentitude)

Ktorej z týchto možností najviac veríte? Svoju odpoveď môžete označiť v ankete v pravom stĺpci blogu. Poznámka január 2008: Anketa už skončila; výsledky si môžete pozrieť v samostatnom príspevku.

Poznámky: 1) Pre jednoduchosť budem značiť symbolom A<=B výrok, že množina A je podmnožina B, symbolom A<B výrok, že A je vlastná podmnožina B, t.j. existujú prvky B, ktoré nie sú prvkami A a symbolom AB prienik množín A a B. 2) Samozrejme, celá táto klasifikácia je vágna, pretože nevieme presne definovať ani jednu z množín V, M a F. Aj tak si však myslím, že dokážete aspoň intuitívne určiť, ktorý z uvedených ôsmich svetonázorov je ten Váš.

Váženie dvanástich guličiek

Máme 12 na pohľad identických guličiek, o ktorých vieme, že 11 z nich má rovnakú hmotnosť a jedna má hmotnosť inú (pričom nevieme, ktorá z nich to je a tiež nevieme, či je ľahšia, alebo ťažšia ako zvyšné guličky). Tiež máme k dispozícii klasickú váhu s dvomi miskami, ktorá vie ukázať len 3 rôzne výsledky: 1) Obsah ľavej misky je ťažší ako obsah pravej misky; 2) Obsah pravej misky je ťažší ako obsah ľavej misky; 3) obsah na oboch miskách je presne rovnako ťažký. Aký je najmenší počet vážení, ktorý nám umožní identifikovať, ktorá gulička je odlišná a aj určiť, či je ťažšia, alebo ľahšia?

Dovolím si tvrdiť, že tento klasický problém by sa podarilo vyriešiť skoro každému, ak by bol dostatočne trpezlivý. Zaujímavé je ale predovšetkým to, či je možné nájsť systematický spôsob hľadania optimálneho, alebo aspoň "dobrého" riešenia podobných úloh, ktorý je schodnejší než vyčerpanie všetkých možností. Máte nejaké návrhy?

Najťažší elementárne formulovaný matematický problém ...

... ktorého vyriešenie by Vám prinieslo slávu aj bohatstvo. A to pritom nie slávu poľnú trávu, ale bezpochyby slávu na veky a k tomu solídnych milión dolárov. Keďže veľkú Fermatovu vetu nám vyfúkol Andrew Wiles, tak asi tušíte, že hovorím o niektorom z Millennium Problems. Ale ktorý z nich je možné formulovať elementárne?

Nie je to tak dávno, čo Jeffrey Lagarias formuloval v reči elementárnych matematických operácií slávnu Riemannovu hypotézu. Stačí overiť, že pre všetky prirodzené čísla n je splnená nerovnosť
(pričom rovnosť nastáva len pre n=1), ktorá zahŕňa len súčet kladných deliteľov čísla n, n-té harmonické číslo, prirodzený logaritmus a exponenciálnu funkciu; pozri priamo Lagariasov článok, alebo vzťah 5 na stránke mathworldu.

Drvivá väčšina matematikov verí, že Riemannova hypotéza je pravdivá. Avšak nie sú náhodou odsúdení len na večnú vieru a nič viac? Takýto zvrat sa Vám môže zdať trochu divný, ale matematika skrátka je veľmi podivná a asi si na to treba zvykať. Prečo?

O Gödelovych vetách ste už asi počuli, ale obvykle sa nám ich dopad zdá akosi vzdialený matematickej realite. Už dlhšiu dobu je však dokázané, že existuje nekonečne veľa Diofantických rovníc, ktoré nemajú žiadne riešenie v obore celých čísiel, ale pritom túto skutočnosť o nich nie je principiálne možné dokázať. Napríklad podľa Stephana Wolframa by takou rovnicou mohla byť m^2=n^5+6n+3. Úloha dokázať neexistenciu riešenia Diofantickej rovnice je pritom veľmi jednoducho formulovateľná a pomerne častá.

Takže tak. To čo je jednoducho formulovateľné a súčasne pravdivé, nemusí byť vôbec dokázateľné, aspoň nie v rámci našej bežnej formalizácie. Je teda možné, že aj Riemannova hypotéza je jednou z takýchto čudesných právd.

Poznámky: 1) Podobné proroctvá tu však boli už pred dokázaním veľkej Fermatovej vety a predsa sa nenaplnili. 2) Všetky moje komentáre týkajúce sa teórie čísiel a logiky berte trochu s rezervou; tieto oblasti sa mi páčia, ale nie som na ne expert. 3) Časť o Diofantických rovniciach je napísaná na základe knihy Rudyho Ruckera "The lifebox, the seashell, and the soul".

Rudy Rucker: The Lifebox, the Seashell, and the Soul

"I come to see the study of computation as the ultimate and most fundamental form of science, even more fundamental than mathematics."
Ak nechceme vynechať žiadny zamysleniahodný výrok z tejto knihy, tak je nemožné napísať recenziu stručnejšiu ako je táto kniha samotná. Rudy Rucker, bývalý profesor informatiky a aktívny autor science-fiction, spísal vo svojom magnum opus “The Lifebox, the Seashell, and the Soul” svoje názory na všetko od kvantovej mechaniky, cez vety o neúplnosti až po ľudské vedomie a zmysel života. Jednotiacou filozofiou Rudyho pohľadu na svet je “univerzálny automatizmus”, t.j. pohľad na všetky fyzikálne aj myšlienkové procesy ako na deterministický výpočet, ktorý je schopný produkovať akúkoľvek komplexitu, no pritom je popísateľný konečným počtom pravidiel. Pre Rudyho sú najzaujímavejšie výpočty, ktoré nazýva trochu podivínsky ako „gnarly”. Výpočty tohto typu sú nepredvídateľné, avšak vykazujú určitú štrukturovanosť, podobne, ako produkuje napríklad celulárny automat s pravidlom 30. Avšak viac ako kritický postoj vedca, cítiť z knihy autora science-fiction. Nadšený metaforou sa Rudy púšťa do odvodzovania často neprimerane ďalekosiahlych záverov. Napriek tomu som veľmi rád, že som si túto knihu kúpil a prečítal, pretože ma naučila dívať sa na niektoré veci z nového a veľmi zaujímavého "výpočtového" pohľadu, prípadne ma prinútila precíznejšie si zdôvodniť môj vlastný odlišný postoj.

Kľúčové slová: Turing machine, Conway's game of life, Post’s problem, Gödel’s incompleteness theorems, Mandelbort set, Zipf’s law, Wolfram’s New kind of Science

Poznámka: Pozri tiež príspevok "Rudyho ontológie".

Bertrand Russell: Citát

"If a man is offered a fact which goes against his instincts, he will scrutinize it closely, and unless the evidence is overwhelming, he will refuse to believe it. If, on the other hand, he is offered something which affords a reason for acting in accordance to his instincts, he will accept it even on the slightest evidence." Bertrand Russell

Poznámka: Tento citát som vybral z toho dôvodu, že súvisí s mojim komentárom ku knihe "The Happiness Hypothesis".

Martin Aigner, Gunter Ziegler: Proofs from THE BOOK

Každý matematik by dal čokoľvek za to, aby mohol vidieť "THE BOOK", avšak, povráva sa, dosiaľ sa to podarilo len jedinému: Paulovi Erdosovi. "THE BOOK" totiž obsahuje tie úplne najkrajšie dôkazy matematických tvrdení. Kniha "Proofs from THE BOOK" je pokusom autorov, Berlínskych profesorov matematiky a priateľov Paula Erdosa, vybrať kandidátov na dôkazy, ktoré by sa v tejto matematickej knihe kníh mohli vyskytovať. Ak Vás baví teória čísiel, kombinatorika, geometria, či analýza, zastavte sa u mňa v kancelárii a ja Vám rád túto knihu (nachvíľu :-) požičiam.

Výber tvrdení, ktoré sú v tejto knihe dokázané: Bertrandov postulát, Iracionalita čísla pí, Hilbertov tretí problém, Eulerova formula a jej dôsledky, Kontrapríklad na Borsukovu domnienku, Spočítateľnosť množiny racionálnych čísiel, Brouwerova veta o pevnom bode pre dimenziu 2, Cayleyho vzorec pre počet stromov na n vrcholoch a mnohé ďalšie.