Nemožné?

Použitím cifier 1, 2, 3, ..., 9 (každú najviac raz) a operácii plus, mínus, krát, deleno, druhá odmocnina, umocňovanie, dvojkový logaritmus a zátvoriek napíšte ľubovoľné prirodzené číslo.

To je zadanie úlohy, ktoré mi pred pár dňami poslal Ondrej Budáč. Vzhľadom na to, že na prvý (aj druhý, aj tretí...) pohľad vzbudzuje úloha dojem neriešiteľnosti, uvediem tiež vlastné, trochu podrobnejšie, "informaticky ladené" znenie:

Nájdite spôsob ako konštruovať výrazy v₁, v₂, ... (v nejakom hypotetickom programovacom jazyku, ktorý počíta úplne presne s reálnymi číslami a má neobmedzenú dĺžku výrazov) také, že hodnota výrazu v_i je i. Každý z výrazov v_i môže obsahovať maximálne raz každú z cifier 1,2,..,9 a ľubovoľnekrát operátory +,-,*,/,^, funkcie sqrt,log2 a zátvorky (,). (Funkcia sqrt počíta druhú odmocninu a log2 dvojkový logaritmus.) Cifra 0 ani žiadne iné operátory a funkcie (ani premenné a konštanty) nie sú dovolené.

Ja som sa s týmto problémom trápil najprv asi pol hodiny, ale po dlhšej pauze ma napadlo riešenie už veľmi rýchlo. Naozaj to ide, nie je v tom žiadny chyták!

Polárny súčet kružníc

Keď som sa dnes zabával s Matlabom, natrafil som na jeden celkom pozoruhodný fenomén, ktorý ma v prvej chvíli prekvapil. Formulujme si ho ako úlohu.

V rovine máme zakreslených n kružníc C₁,...,C_n prechádzajúcich počiatkom O súradnicovej sústavy. Každá priamka p prechádzajúca bodom O pretne kružnicu C_k v dvoch bodoch - v bode O a v bode, ktorý si označíme A_k(p). (Ak je priamka p dotyková ku kružnici C_k, tak definujeme A_k(p)=O.) Aká je množina všetkých bodov tvaru S(p)=A₁(p)+...+A_n(p), kde p je priamka prechádzajúca počiatkom O? (Body sčítavame ako vektory.)

Táto úloha je možno trochu ťažšia, takže vítané sú aj čiatočné riešenia (napríklad riešenia pre špeciálne prípady), nápady, skrátka akékoľvek potenciálne zaujímavé komentáre.