Telepat II

Tentokrát nášmu telepatovi zaplatíme za každý uhádnutý symbol 1 euro. Telepat si postupne prikladá na čelo jednotlivé obálky, pričom vždy po chvíľke telepatovania danej obálky povie svoj tip, čo by sa v nej malo nachádzať. Vypočítajte strednú hodnotu jeho zisku, ak nemá žiadne telepatické schopnosti, avšak má dokonalú pamäť a pritom používa optimálnu stratégiu tipovania. Uvažujeme nasledovné spresnenia:

a) Počas tipovania nedostáva telepat žiadnu informáciu o obsahu obálok, t.j. všetky obálky sa otvoria až po ukončení jeho tipovania. b) Po každom tipe sa daná obálka otvorí a telepat sa dozvie, ktorý symbol v nej bol. c) Po každom tipe prezradíme telepatovi len to, či uhádol, alebo neuhádol, avšak nie to, ktorý konkrétny symbol sa v danej obálke nachádzal.

Riešenie ani jednej z týchto troch úloh nie je úplne triviálne (pokiaľ človek nenájde správny trik), preto sú veľmi vítané akékoľvek nápady, riešenia pre malé n, prípade simulačné výsledky.

Namiesto ilustračného obrázku mám dnes pre Vás link od Juraja.

Poznámka 27.8.: Ak som sa nepomýlil, tak tie stredné hodnoty zisku pri optimálnej stratégii vychádzajú vo všetkých troch prípadoch celkom pekne. Ak si s tým problémom neviete poradiť, pokúste sa aspoň odhadnúť, či pre rastúce n (n je počet rôznych symbolov, t.j. aj počet obálok) ide stredná hodnota zisku pri optimálnej stratégii do nekonečna, alebo naopak, či existuje hranica, ktorú stredná hodnota zisku nepresiahne pre žiadne n ani pri tej najlepšej stratégii. Čo hovorí Vaša intuícia?

Telepat

Tieto dni je mojou hlavnou pracovnou náplňou dokončovanie zbierky príkladov z teórie pravdepodobnosti, ktorú musíme čoskoro odovzdať do tlače. Pri spisovaní riešenia jedného príkladu ma napadla takáto netechnická formulácia vhodná aj na náš blog:

Telepat bez akýchkoľvek telepatických schopností, ktorému bolo navyše nečakane znemožnené podvádzať, sa snaží určiť n rôznych symbolov nachádzajúcich sa na kartách v n nepriehľadných obálkach. (Telepat vopred vie, aké symboly boli náhodne rozdistribuované do obálok; nevie len to, v ktorej obálke je ktorý symbol. Telepat teda priradí obálkam n-ticu symbolov úplne náhodne a až potom sa všetky obálky otvoria, aby sa zistilo, koľko symbolov uhádol.) Čo je pravdepodobnejšie: to, že neuhádne ani jeden symbol, alebo to, že uhádne práve jeden symbol?

Na ilustratívnom obrázku sú takzvané Zenerove karty, ktoré sa často používajú na testovanie proklamovaných telepatických schopností. V našom zadaní je však počet kariet všeobecné n, t.j. nielen 5. Teším sa na Vaše riešenia.

7+7=12

Ak sa Vám zdali posledné úlohy príliš matematicky technické, ponúkam Vám pre zmenu jeden detský hlavolam, ktorý však môže spôsobiť polhodinovú frustráciu aj učiteľovi na matfyze. Viem to z vlastnej skúsenosti :-) Na túto úlohu som natrafil v jednej z mojich nových kníh, ale jej názov uvediem až keď budeme mať riešenie.

Viete dokázať, že sedem je polovica z dvanástich?

Riešenie podobných hlavolamov sa zakladá na tom, že sa nájde nejaký nečakaný vysvetľujúci uhol pohľadu (ktorý by niekto mohol nazvať aj "podfuk"). Takýchto uhlov pohľadu existuje obvykle viac, avšak za správny sa považuje ten, o ktorom väčšina ľudí retrospektívne cíti, že je najjednoduchší, alebo najkrajší. V tomto zmysle nepovažujeme za správne riešenie ani to, čo som načrtol na ilustratívnom obrázku, ale ani odpovede typu "7+7=12 v dvanástkovej sústave". Správne riešenie je úplne iného typu.

Ondrova-Misofova rekurencia

Predchádzajúcu zaujímavú úlohu od Ondra by sme mali vyriešenú, ak by sa nám podarilo dokázať jednu celkom pozoruhodnú domnienku, ktorú v komentároch formuloval misof a ktorú je možné zapísať v nasledovnom tvare:


Nech Q₁=0, Q₂=1/3 a pre n=3,4,5,... nech


Potom

Numericky táto domnienka sedí natoľko presne, že jej platnosť je prakticky istá. Ide len o jej formálny dôkaz...

Ja sa do rekurencií veľmi nevyznám, ale všimol som si, že Ondrova-Misofova rekurencia spĺňa jednu peknú vlastnosť: Člen Q_n je váženým priemerom členov Q₁, Q₂,...,Q_n-2. Z toho je napríklad okamžite jasné, že všetky členy postupnosti budú medzi číslami Q₁ a Q₂. Je ale možné toto pozorovanie použiť na dôkaz skutočnosti, že postupnosť hodnôt Q_n konverguje, prípadne dokonca toho, že konverguje práve k číslu e^-2? Vyzerá to byť pekná a netriviálna matematická úloha...