Alino a piškóty

Náš pes Alino má veľmi rád návštevy, no ešte radšej má piškóty. Keď príde návšteva, existuje len jediný spôsob ako sa ho aspoň na čas zbaviť: rozhádzať mu po zemi piškóty a kým ich všetky nepožerie, je od neho pokoj.

Avšak piškóty nám už zostali iba tri. Ako ich máme rozložiť do štvorcovej miestnosti s rohmi ABCD, aby trvalo Alinovi čo najdlhšie, kým ich všetky zožerie? Predpokladáme, že Alino začína svoju mlsnú prechádzku pri nás v rohu A a kráča konštantným tempom vždy priamou cestou k najbližšej piškóte. Ak sú dve piškóty rovnako vzdialené, vyberie si Alino úplne náhodne, za ktorou z nich sa vyberie. Zožratie piškóty mu trvá, samozrejme, zanedbateľne krátky čas. Keď už nie je čo jesť, vráti sa naspäť do rohu A, aby nás mohol opäť obšťastňovať.

Možno mi neuveríte, ale moji rodičia majú naozaj psa s menom Alino (bordeauxka doga na obrázkoch) a metódu rozhadzovania piškót skutočne občas používajú. Jedná sa teda o problém aplikovanej matematiky. :-)

Magická hviezda

Nemám už dnes síl seriózne pracovať a preto som sa rozhodol, že k rybám pridám ešte jednu matematickú úlohu úplne iného charakteru; na jej vyriešenie stačí vedieť sčitovať čísla od 1 do 12 :-). Mám ju z príjemnej a čerstvej knihy "Cabinet of Mathematical Curiosities" od známeho profesora z Warwicku Iana Stewarta.

Do krúžkov na obrázku doplňte čísla od 1 do 12 (každé z týchto dvanástich čísel je potrebné použiť práve raz), aby bol súčet každej štvorice čísel spojených úsečkou a taktiež šestice čísel na vonkajšej kružnici práve 26.

Poznámka 3.3.: V komentároch nájdete viaceré možné riešenia a iné zaujímavosti týkajúce sa tejto a podobných úloh.

Ryby II

Predpokladajme, že hmotnosť ulovených rýb má rovnomerné náhodné rozdelenie na intervale 0kg až 1kg, rovnako ako v prvom príklade o rybách. Tentoraz však pozmeníme pravidlo ukončenia rybačky:

Budem chytať ryby až dovtedy, kým neulovím prvú rybu, ktorá je ľahšia ako predchádzajúca ulovená ryba. (Domov si odnesiem aj túto ľahšiu rybu.) Aká je stredná hodnota počtu rýb, ktoré takto ulovím? Aká je stredná hodnota celkovej hmotnosti rýb, ktoré si odnesiem domov?

S úlohami o strednej hodnote počtu ulovených rýb som sa prvýkrát stretol vo veľmi peknej knihe "Matematika náhody" od profesora Jiřího Anděla z MFF UK v Prahe. Otázky týkajúce sa strednej hodnoty celkovej hmotnosti ulovených rýb sa však v tejto knihe neriešia, zrejme z toho dôvodu, že sú ťažšie. Ja sám ich neviem presvedčivo zodpovedať bez použitia dosť pokročilého aparátu teórie pravdepodobnosti. Kto ich zodpovie pomocou elementárnej matematiky, má môj obdiv.

Nové ankety

Poznámka 26.3.: Anketu sme už uzavreli. Jej výsledky si môžete pozrieť na tomto odkaze.

Na blogu QED je návštevníkov pomerne veľa; pred rokom som mal v priemere tak 50 návštev denne, posledné mesiace je to už približne 80. Zdá sa však, že väčšina ľudí sem zavíta jednorázovo, alebo dokonca tak trochu omylom. (Minule sa niekto dostal na QED po tom, čo si dal vyhľadávať slová blázon+matfyz. Ale toto práve omyl ani veľmi nebol. Omylom sa sem dostali skôr tí, ktorí vyhľadávali napríklad guličky+do+jazyka, alebo najnovšie+správy+z+bulváru.)

Rozhodol som sa preto urobiť malý prieskum Vašich názorov, ktorý by mohol pomôcť tento blog pre Vás trochu zatraktívniť.

V prvom formulári (pozri vpravo hore pod upútavkou na súťaž) sa Vás pýtam, ako často blog QED navštevujete. Ak ste tu už boli viackrát, vyplňte prosím aj druhý formulár, v ktorom sa Vás pýtam na Vaše celkové hodnotenie od A po Fx, ako na skúške. Prosím, nedávajte mi Fx len kvôli tomu, že nemáte radi matematiku. Hodnoťte skôr to, ako dobrý je tento blog pre tých, ktorí matematiku radi majú.

Najviac informácie môže priniesť tretí formulár; všimnite si, že v ňom môžete označiť viacero možností súčasne. Nezabudnite, že počet príspevkov mesačne z časových dôvodov nemôžem veľmi zvýšiť. (Nakoniec, keby som nerobil predovšetkým niečo iné ako písanie blogu, nemal by som veľmi o čom písať.) Takže napríklad nemá zmysel zaškrtnúť súčasne veľa políčok; ideálne tak okolo polovice.

Samozrejme, najlepšie ma usmerníte priamo komentárom k tomuto príspevku.

PS: Ak ste študentom matfyzu, vyplňte prosím aj anketu FMFI UK. Vám samotným, Vašim mladším spolužiakom a aj väčšine vyučujúcich Vaše hodnotenie, najmä to slovné, pomôže. Ale nezabudnite. Najúčinnejšia kritika je tá, ktorá je napísaná slušne a kultivovane. Urážlivé vyjadrenia ohľadom vyučujúcich môžu byť práve vodou na mlyn pre tých, ktorí by boli najradšej, keby sa Vaša (naša) anketa úplne zrušila.

Ryby

Do ukončenia súťaže nám chýbajú už len dve úlohy, takže neváhajte a niečo pošlite; veď pekných matematických úloh je približne nekonečne veľa. Napríklad táto:

Rozhodol som sa, že budem chytať ryby (po jednej) až dovtedy, kým ich celková hmotnosť neprekročí 1kg. Aká je stredná hodnota počtu rýb, ktoré ulovím? Viem, že v mojom rybárskom revíre má hmotnosť ulovených rýb rovnomerné náhodné rozdelenie medzi 0 kg a 1 kg.

Poznámka 1: Stredná hodnota je "asymptotický priemer", t.j. to číslo, ku ktorému by sa blížil aritmetický priemer chyteného počtu rýb v prípade, že by som takýmto spôsobom a za rovnakých podmienok rybačku neustále opakoval. Rovnomerné náhodné rozdelenie medzi 0 kg a 1 kg znamená to, že pravdepodobnosť, že ulovená ryba bude mať menej ako m kg, je rovná presne m (pre m medzi nulou a jednotkou). Mal by som však dodať, že náš príklad nie je úplne triviálny a ak ste sa so základmi pravdepodobnosti a matematickej analýzy dosiaľ nestretli, tak sa Vám bude riešiť dosť ťažko. Simulačne sa však výsledok dá celkom spoľahlivo "uhádnuť".

Poznámka 2: Túto úlohu už údajne poznal Laplace, hoci formulácia s rybami je novšieho dáta.

Poznámka 3: Keď ukončíme súťaž o najkrajšiu matematickú úlohu, zorganizujem súťaž o najkrajší matematický obrázok. Čo vy na to?

Glimpse into the hyperspace

... tak som nazval sériu obrázkov vygenerovaných krátkym programíkom v jazyku R, ktorého základnou myšlienkou je priemet špeciálnych kriviek v mnohorozmernom priestore do zvoleného dvojrozmerného podpriestoru. Sám som bol prekvapený, aké rôznorodé útvary je možné takouto technikou vytvoriť. Na YouTube som uploadol detailné video, ktoré si v nižšom rozlíšení môžete pozrieť aj tu:



Ak by mal niekto z Vás záujem implementovať program na vytváranie takýchto obrázkov ako samostatnú aplikáciu, zastavte sa za mnou a rád Vám použitý matematický princíp vysvetlím podrobnejšie.

Exponenciálna funkcia v komplexnej rovine

Nasledovné video je animáciou funkcie


pričom t je čas v rozmedzí 0 až 2π. Všimnite si, že pre t=0 máme obyčajnú komplexnú exponenciálnu funkciu, zatiaľčo pre t=π sa jedná o funkciu exp(1/z), keďže exp(iπ)=-1.



Farbu som pre toto video volil tak, že reálna zložka zodpovedá "dimenzii h", čiže hue a komplexná zložka "dimenzii s", čiže saturation, v hsv parametrizácii farieb.

Prednáška na sústredení KMS

Len veľmi stručne: Včera som bol spolu s kolegom Martinom Nieplom urobiť prednášku na sústredení KMS v škole v prírode "Patrovec" pri Trenčianskom Jastrabí. Na našom katedrovom serveri je voľne dostupná moja prezentácia. Je písaná pre stredoškolákov, čiže formálne nie celkom presne, ale napriek tomu Vás možno zaujme.