Konvexné smery

Nech f je reálna funkcia definovaná na množine všetkých dvojíc reálnych čísiel. Smerom nazveme každý vektor (u,v) jednotkovej dĺžky.  Budeme hovoriť, že funkcia f je konvexná v smere (u,v), ak pre každý bod (a,b) je konvexnou funkcia priradzujúca číslu α číslo f(a+αu,b+αv). Je zrejmé, že ak je funkcia f konvexná vo všetkých smeroch, tak je sama konvexná. Konvexnosť v jednom smere však samozrejme nestačí; napríklad nekonvexná funkcia f(x,y)=x²+y³ je konvexná v smere (1,0):

Stačí na zabezpečenie konvexnosti funkcie f konvexnosť v dvoch rôznych smeroch? V troch? ...

Aké je maximálne prirodzené číslo n, pre ktoré existuje nekonvexná reálna funkcia f  dvoch reálnych premenných, ktorá je konvexná v n rôznych smeroch (u₁,v₁), ... ,(u_n,v_n)?

Hlavolam z výstavy

Dnes som sa v rámci nedeľného oddychu vybral s manželkou a dcérkou do Slovenského národného múzea na výstavu "Matematika pre potešenie". Aj keď na prvý pohľad pôsobí táto výstavka pomerne chudobne, dá na nej celkom dobre zabaviť, čo platí dvojnásobne, ak máte so sebou dieťa :). Väčšina exponátov je založená na dobre známych princípoch, napríklad Galtonova skrinka, Buffonova ihla, Kreslenie grafu jedným ťahom, Möbiusov list, Tangram a podobne. Mňa najviac zaujalo vedro s mydlovou vodou, do ktorého bolo možné ponárať drôtené modely telies (napríklad kocka, pravidelný simplex, štvorboký ihlan) a sledovať tvar vzniknutých membrán, podobne ako v jednom našom staršom príspevku.

Výstavka obsahuje aj niekoľko hlavolamov, z ktorých sa mi jeden nepodarilo vyriešiť, hoci som nad ním strávil možno aj štvrť hodiny. (Trochu ma to rozladilo, pretože riešenie je určite veľmi jednoduché. :) Vy však možno budete úspešnejší ...

Poskladajte štvorec rozmerov 6x6 z ôsmich kúskov znázornených na nasledovnom obrázku.

How long will it take Marie to saw a board into 3 pieces?

K napísaniu tejto rekreačnej úlohy ma inšpiroval príspevok Math teacher fail na blogu TYWKIWDBI (credits: Lenka Filová). Za normálnych okolností, t.j. ak pod slovom "board" rozumieme obdĺžnikovú dosku, je odpoveď učiteľa nesprávna. Ale... :)

Márii trvá 1 minútu, kým rozpíli drevený útvar konštantnej hrúbky na 2 rovnaké časti. Ako dlho bude trvať Márii, kým rozpíli tento útvar na 3 rovnaké časti? Aké sú všetky možné "správne" odpovede v závislosti od tvaru tohto útvaru?

Uvažujeme len také útvary, ktoré je možné rozpíliť na dve aj na tri rovnaké časti a tiež predpokladáme, že Mária píli daný útvar najkratším možným rezom (alebo najkratším možným súčtom dĺžok rezov), po ktorom sa rozpadne na dve, resp. tri rovnaké časti. Na to, aby sme dve časti považovali za "rovnaké", nestačí, aby boli "zrkadlovo rovnaké" (povedzme, že strany dosky sú ofarbené rôznymi farbami, čo umožní rozlíšiť zrkadlovú podobnosť od skutočnej zhodnosti).