Predpokladáme, že rovinu zo zadania volíme "rovnomerne" náhodne, čiže všetky orientácie tejto roviny sú rovnako pravdepodobné, alebo ešte presnejšie: jednotkový normálový vektor tejto roviny má rovnomerné rozdelenie na povrchu jednotkovej gule.
Poznámka 4.12.: Vídím, že táto úloha nikoho nezaujala, avšak ja osobne mám celkom radosť, že ma napadla. Na prvý pohľad sa totiž zdá ťažká, no v skutočnosti sa dá pomocou istých trikov z teórie pravdepodobnosti vyriešiť na niekoľko riadkov.
8 komentárov:
Nie som si tymto riesenim ani trochu ista, ale vyskusam :)
Nech tazisko kocky je v pociatku sur. sustavy a steny kocky su tvorene rovinami x=+-1, y=+-1, z=+-1.
Kedze rovina prechadza pociatkom, rez moze byt bud stvoruholnik alebo sestuholnik.
K tomu, aby sme dostali 6uholnik, potrebujeme, aby rovina pretinala kazdu stenu kocky.
Predpokladajme teda, ze rovina ma rovnicu R:ax+by+cz=0. s kazdou stenou kocky ma spolocny prienik: priamku a tieto priamky sa "stretavaju" na hranach kocky.
Kedze rovina prechadza pociatkom, vdaka symetrii nam staci sa pozerat na tri priesecniky:
x=1&y=1&R, x=1&z=1&R, y=1&z=1&R
Body, v ktorych sa tieto roviny pretinaju, su: (1,1,-(a+b)/c), (1,-(a+c)/b,1), (-(b+c)/a,1,1)
Na to, aby pretinali hranu kocky, musi platit -1<=-(a+b)/c<=1, -1<=-(a+c)/b<=1,-1<=-(b+c)/a<=1, a odtial dostavame, ze c>=|a|+|b|.
No a to je "dolu hlavou" otoceny ihlan so stredom v pociatku a jeho objem je 1/3*s*v, kde s je obsah zakladne a v je vyska.
Hladana pravdepodobnost je teda 1/3.
Ahoj Lenka. Som veľmi rád, že Ťa zaujala aj táto staršia úloha, pretože sa dá podľa mňa veľmi pekne vyriešiť. Avšak presná pravdepodobnosť, že vzniknutý rez je šesťuholník, nie je 1/3, ale iracionálne číslo približne rovné 0.35096.
Nebude to 1-3*arccos(7/9)/Pi, čiže približne 0.35095931...? Bo ak áno, tak to budem veľmi zvedavý na tie pravdepodobnostné triky, ktoré to dokážu nájsť na pár riadkov :-)
U mňa tá trojka pochádza z toho, že existujú tri vzájomne disjunktné "zakázané" prípady, podľa toho, ktorá zo súradníc normálového vektora je v absolútnej hodnote väčšia ako súčet absolútnych hodnôt zvyšných dvoch (podobný záver ako mala Lenka). To Pi má zase súvis s povrchom jednotkovej gule, ktorý je rovný 4Pi (štvorka sa vymlátila s inými konštantami). No a arkuskosínus je... výsledkom odporného integrálu rátajúceho plochu útvaru na jednotkovej guli, ktorý je tvorený "zakázanými" normálovými vektormi -- ten útvar je pomerne zaujímavý, ale príslušný integrál som dostal veľmi škaredý :-)
Ok, velmi jednoduchy postup to nie je, ale viedol k tomu magickemu cislu, co si uviedol :D
Najskor si vypocitajme pravd., ze rovina pretne jednu stenu.
Opisme kocke gulu, ta bude mat polomer r=sqrt(3)/2.
Stena sa premietne na guli na sfericky stvorec s dlzkou hrany l=1.066 a pravd., ze rovina pretne tento stvorec, je 2l/(pi*r) (inspiracia tu: http://radoslav-harman.blogspot.com/2008/07/buffonov-rez-sfry-ii.html).
Teraz P(rovina pretne vsetky steny)=1-P(aspon jednu nepretne)
P(aspon jednu nepretne)=P(S1'or...or S6')=P(S1')+...+P(S6')-P(S1'& S2')-...-P(S5'& S6'),
kde Si oznacuje pretnutie i-tej steny rovinou.
Dalej, kedze rovina moze nepretnut jedine dve steny sucasne, mame P(S1')+...+P(S6')=2*(P(S1'& S2')+...+P(S5'& S6')), a teda P(S1'or...or S6')=1/2*(P(S1')+...+P(S6'))=3*(1-P(S1)).
A odtial uz P(vznikne 6uholnik)= P(rovina pretne vsetky steny)=1-3*(1-P(S1))=3*P(S1)-2=3*2l/(pi*r)-2=0.350959
goober, Lenka: Obaja ste ste zvolili správne postupy, hoci Lenkin sa mi tentokrát zdá krajší (po všetkých tých v skutku pozoruhodných riešeniach od goobera, ktoré nám tu na QED predviedol).
Môj postup sa trochu podobá na ten Lenkin, ale je ešte stručnejší a zrozumiteľný každému, kto absolvoval základy teórie pravdepodobnosti. (Napríklad v ňom nie je potrebné žiadne integrovanie, ani iné komplikované techniky výpočtu obsahov útvarov na povrchu gule.)
Áááááá... tak to bol ten magický trik! Pravdepodobnosť trafenia sa do toho sférického štvorca bola u mňa v podobe škaredého integrálu a nie pekného podielu. Tuším je čas prečítať si všetky tie staré príspevky poriadne :-)
Inak, keď sa s tým človek pohrá, dá sa tá pravdepodobnosť zjednodušiť na arccos(329/729)/Pi.
Mne to vyšlo v tvare 6*acos(1/3)/pi-2.
Jasne, ved to je to iste, ako ked si ja vyjadrim tu dlzku obluka l=uhol*r, r je polomer gule, a uhol, ktory vznikne pri tetive s dlzkou 1 (hrana kocky), ma cos(x)=1/3. Potom vo vysledku l/r=arccos(1/3)
:)
Zverejnenie komentára