Membrána medzi obručami

Dve rovnaké kruhové obruče namočíme do mydlovej vody a opatrne ich od seba vzdialime. Aký tvar bude mať membrána, ktorá sa medzi nimi vytvorí?

Intuitívne sa zdá zrejmé, že membrána bude mať tvar plášťa valca, ako je to zobrazené na ilustračnom obrázku vľavo. Ale je to tak naozaj?

Túto peknú úlohu mám od otca, ktorého silnou stránkou je to, že veľmi dobre rozumie fyzike (na rozdiel od mnohých iných matematikov) a za vzorcami vidí reálny svet.

3.1.2010: Ako ste už správne napísali v komentároch, membrána medzi obručami nebude mať tvar plášťa valca; tu je dôkaz:

Vzhľadom na to, že mydlová membrána je extrémne tenká, je gravitačné pôsobenie zanedbateľne malé a jej tvar bude takmer presne zodpovedať plášťu rotačného telesa s minimálnym možným povrchom. Ako správne odhadol Vlado, úloha nájsť také teleso patrí do obasti variačného počtu a ako napísal Rasťo, výsledkom je teleso nazývané catenoid, ktoré vznikne rotáciou "reťazovky", čiže vlastne hyperbolického kosínu.

PS: Želám Vám šťastný nový rok a okrem iného veľa potešenia z nového poznania :-)

Delenie hranatého koláča II

Traja matfyzáci napiekli koláč v tvare nepravidelného konvexného šesťuholníka a teraz špekulujú nad tým, ako si ho podeliť spravodlivo, čiže tak, aby každý z nich dostal rovnakú časť koláča. Základný nápad je jednoduchý: vo vnútri koláča zvolia "centrálny" bod a od tohoto bodu budú viesť priame rezy smerom k vrcholom šesťuholníka. Poraďte im ako majú tento centrálny bod zvoliť, aby si mohli výsledných šesť trojuholníkových kúskov medzi sebou spravodlivo podeliť.

Na ilustračnom obrázku je príklad voľby takéhoto bodu a príslušného delenia: červené kúsky dostane jeden, žlté druhý a hnedé tretí. Táto úloha je už trochu náročnejšia ako predchádzajúca; pokúsme sa najprv zodpovedať otázku, či také delenie vôbec vo všeobecnosti existuje, čiže či je vôbec základná myšlienka delenia správna.

Delenie hranatého koláča.

Zábavný článok v časopise New Scientist o krájaní pizze ma inšpiroval k formulovaniu nasledovnej, podobnej, ale omnoho ľahšej úlohy:

Koláč v tvare pravidelného n-uholníka (pričom n je párne) rozkrájame na n trojuholníkových kúskov tým spôsobom, že vedieme rezy od vrcholov koláča k náhodne zvolenému bodu vo vnútri koláča. Kúsky si potom medzi sebou striedavo rozdelia dvaja ľudia. Dostanú obaja rovnakú časť koláča?

Na ilustratívnom obrázku máme znázornenú situáciu pre n=6 a n=8. Jeden človek dostane kúsky vyznačené žltou farbou a druhý človek kúsky vyznačené hnedou farbou.

Planéta X

Planéta X má tvar gule, pričom jej obývateľná zóna tvorí pás okolo rovníka, ktorého šírka je jedna šestina obvodu planéty. (Čiže najkratšia cesta od jedného kraja tohoto pásu po druhý kraj, samozrejme po povrchu planéty, má dĺžku šestinu obvodu tejto planéty.) Koľko percent povrchu tejto planéty je obývateľných? Koľko percent povrchu planéty X by bolo obývateľných, ak by bola nie troj, ale štyridsaťdvarozmerná?

Poznámka: V prípade 42 rozmernej planéty je úloha dosť náročná; už len formulovať ju matematicky presne nie je jednoduché. Ak chcete, môžeme o tom samozrejme podiskutovať a vyriešiť túto úlohu aspoň numericky...

Poznámka 3.12.: No, "dosť náročná" je pre ten 42 rozmerný prípad asi eufemizmus. "Pekelná" je asi lepší prívlastok a to napriek tomu, že riešenie je len dávno známy špeciálny prípad tvrdení z článku, ktoré sme s Vladom Lackom prednedávnom zaslali do časopisu. Ale nič to. Môžeme tu mať aj takúto úlohu. Ak by sa niekto cítil byť veľký frajer...