π

Ako ste možno zaregistrovali, včera prebehla médiami informácia o tom, že sa istému 13 ročnému žiakovi z Banskej Bystrice podarilo zapamätať si číslo π na 300 desatinných miest, čím vytvoril nový slovenský rekord. Gratulujeme.

Každopádne, najlepšie svetové výkony v tejto "disciplíne" sa pohybujú v úplne iných rádoch. V súvislosti s fenomenálnou pamäťou Vám odporúčam pozrieť si veľmi zaujímavé videá o Danielovi Tammetovi a o Kimovi Peekovi; je ohromujúce, čoho je ich mozog, a možno principiálne aj mozog každého z nás, schopný.

Tento príspevok som však začal písať s cieľom formulovať pre Vás nasledovnú úlohu: Predstavme si, že si budeme musieť zapamätať postupnosť povedzme 15 cifier. Nebudeme si môcť pritom vôbec nič poznačiť, avšak môžeme použiť akúkoľvek mnemotechnickú pomôcku, ktorú si vopred pripravíme (a budeme ju môcť používať ako pri zapamätávaní si, tak aj pri rekonštruovaní danej postupnosti čísiel). Máte nejaké nápady, akú pomôcku by ste si pripravili Vy?

Chris Frith: Making up the mind

Kniha významného anglického neurovedca Chrisa Fritha "Making up the Mind" vo mne utvrdzuje už dlhšiu dobu silnejúci pocit, že sme súčasníkmi nového prevratu v chápaní sveta, tichého, ale zásadného; ďalšieho vytriezvenia z iluzórnej samozrejmosti.

Podobne, ako to bolo s teóriou relativity, ktorá nás obrala o jednoduchú predstavu priestoru a času, alebo s kvantovou mechanikou, ktorá nám zrútila prirodzené chápanie kauzality, moderné neurovedy spochybňujú dôveryhodnosť toho, čo vieme sami o sebe; spochybňujú našu pamäť, zmyslové vnímanie, dokonca naše pohnútky a samotnú slobodnú vôľu.

Spomeňme napríklad experimenty Benjamina Libeta, ktoré potvrdzujú, že aktivita mozgu smerujúca k nejakej činnosti je merateľná už podstatne skôr ako nastáva to, čo sa nám javí ako vedomé rozhodnutie túto činnosť vykonať. Ako si výsledok týchto, alebo viacerých iných podobných experimentov vysvetliť? Zdá sa isté, že si musíme podstatným spôsobom upraviť našu predstavu o slobodnej vôli.

Moderné zobrazovacie techniky nás dokonca pripravili o súkromie našich myšlienok; pomocou prístrojov vedci doslova vidia naše predstavy, plány a emócie; zatiaľ len hrubo, ale Pandorina skrinka je už otvorená. Opakovateľné experimenty naznačujú, že naše "ja" je len aspektom epistemického modelu sveta, redukovateľného na základné fyzikálne princípy komunikácie medzi neurónmi. Čím ďalej, tým je ťažšie brániť dualistický pohľad na myseľ, ktorý je spolu so slobodnou vôľou ideovým pilierom najrozšírenejších svetových náboženstiev.

Otázka už neznie, či revolúcia v neurovedách bude mať na náš život nejaký dopad, ale skôr ako sa s novým pohľadom na nás samotných vyrovnáme.

Krátke poznámky a odkazy:

• Pozrite si stránku s fascinujúcimi optickými klamami; aby som uveril, musel som si vyrobiť špeciálne tienítko. Trochu pozorouhodnej frustrácie môžete zažiť pri hľadaní zmien na obrázkoch na tejto stránke demonštrujúcej fenomén "change blindness". Zaujímavé sú aj tieto videá na stránke profesora Richarda Gregoryho.
• O Benjaminovi Libetovi a jeho experimentoch si môžete prečítať zaujímavý článok od Susan Blackmoreovej, verejnosti známej predovšetkým knihou "The Meme Machine".
• K svojej knihe pripravil Chris Frith túto krátku prezentáciu. Ako aj ostatné knihy z mojej malej knižnice, aj túto Vám rád požičiam. Ak Vás problematika neurologického pohľadu na myseľ zaujíma, môžem Vám požičať aj úchvatnú tematicky podobnú knihu Olivera Sacksa "Anthropologist on Mars", alebo menej slávnu, no tiež veľmi zaujímavú knihu Douglasa Tweeda "Microcosms of the Brain".

Richard Wiseman: Quirkology

Pokúste sa odpovedať na nasledovné otázky:

Sú poslucháči rádia schopní s väčšou pravdepodobnosťou odhaliť klamstvo než tí, ktorí ten istý preslov nielen počujú, ale aj vidia v televízii? Je pravdou, že strašidelné pocity v niektorých budovách majú reálny základ merateľný prístrojmi? Je Dublin "rýchlejšie" mesto ako New York? Sú ľudia narodení v lete subjektívne šťastnejší ako tí, ktorí sa narodili v zime? Sú ženy-šoférky silných áut najčastejšou skupinou vodičov, ktorí parkujú na zakázaných miestach? Spomedzi všetkých krajín v súťaži o najlepší vtip sveta, boli to Nemci, kto dával vtipom najvyššie priemerné hodnotenia? Je pre väčšinu ľudí príjemnejšie obliecť si sveter pošpinený od psích výkalov, než čistý sveter vraha?

To sú len niektoré z mnohých trochu uletených otázok, na ktoré sa v knihe Quirkology dozviete odpoveď podloženú rozsiahlymi dátovými súbormi, premyslenými experimentmi a dlhodobými pozorovaniami profesora psychológie Richarda Wisemana a jeho kolegov. Kniha Quirkology je písaná ľahkým a humorným štýlom, no s veľmi vážnym posolstvom. Väčšina z nás je náchylná na psychologické omyly, povery, predsudky a nekritické hodnotenie (predovšetkým svojich schopností) a to oveľa viac, ako sme ochotní pripustiť. Neveríte? Odpovede na všetky otázky vyššie sú, aspoň podľa profesora Wisemana, "áno".

Poznámka: Aj túto knihu Vám môžem požičať, avšak samozrejme len ak je voľná.

Nassim Nicholas Taleb: Black Swan

Keď odstránime z knihy Nassima Taleba "Black Swan" autobiografické spomienky neuznaného génia a výsmech nositeľov Nobelovej ceny písaný žlčou zraneného ega, zostanú nám už len nasledovné, nie nutne disjunktné skupiny myšlienok: banálne, mylné, arogantné a staré.

Ústrednou banálnou a starou myšlienkou je kritika, že v ekonomických a spoločenských vedách sa venuje veľa pozornosti metódam "Mediocristanu" (rozumej modelom založeným na normálnom rozdelení) a príliš málo "Extremistanskej" skutočnosti (občasným neočakávaným náhodným prípadom s ohromným dopadom, takzvaným "čiernym labutiam"). Na túto kritiku nadväzuje mylná a arogantná myšlienka, že všetci súčasní vedci, pochopiteľne s výnimkou samotného autora a ešte Mandelbrota, sú zaslepení hlupáci, ktorí si nespoľahlivosť súčasných finančno-matematických modelov neuvedomujú, alebo ju zo všetkých síl popierajú.

Samozrejme, čitateľ očakáva, že po zdrvujúcej kritike Taleb vytiahne z rukáva nejaký úžasný návrh, ktorým strčí modernú finančnú matematiku do vrecka. Omyl. Vyústením knihy je len veľmi vágne popísaný desiatky rokov starý návrh používať rozdelenia s ťažkými chvostami, napríklad tzv. "power laws". V knihe nie je skoro nič konštruktívne, čo by bolo súčasne originálne; iba narážky, z ktorých po dvadsiatom zopakovaní vyprchá akýkoľvek humor a zostane len pachuť trápnosti.

Táto kniha je pre mňa zaujímavá len ako podnet na zamyslenie, ako je možné, že sa niečo podobné stane bestsellerom. Ak sa zaujímate o rolu náhody v oblasti financií, tak Vám odporúčam prečítať si radšej síce taktiež nie veľmi originálnu, no ešte nenásilne a pomerne kultivovane písanú knihu "Fooled by Randomness" od toho istého autora.

Poznámka: Sám síce nie som expert na finančnú matematiku (na matfyze sú na to iné kapacity), ale do základných metód pravdepodobnosti a štatistiky sa rozumiem, aj keď len ako deluded Platonic sucker from Mediocristan, who speaks in a boring tone, relies on abstract mathematics and scientific papers instead of practice, while being precisely wrong. Možno Vás však moje názory aj tak budú zaujímať. V tom prípade sa ma neváhajte na čokoľvek opýtať.

Ako inteligentný je najinteligentnejší Slovák?

V poslednej dobe je toto už tretí príspevok týkajúci sa inteligenčného kvocientu. Dôvod, prečo mi táto téma chodí v súčasnosti viac po rozume, je úplne prozaický: normálne rozdelenie hodnôt IQ v populácií predstavuje výborný námet na pravdepodobnostné úlohy, ktoré nie sú ani príliš triviálne, ani príliš komplikované, skrátka veľmi vhodné pre študentov na skúšky :-) Takou úlohou je aj nasledovná:

Odhadnite, aké je IQ najinteligentnejšieho človeka v skupine n nezávisle náhodne vybratých ľudí. Napríklad: V akom rozmedzí možno čakať IQ najinteligentnejšieho Slováka?

Pomocou základných metód teórie pravdepodobnosti a matematickej analýzy sa dá ukázať, že 100p-percentný kvantil maxima n nezávislých náhodných premenných s normálnym rozdelením so strednou hodnotou 100 a smerodajnou odchýlkou 15 je približne


kde Φ^-1 je kvantilová funkcia štandardizovaného normálneho rozdelenia. Dobrú predstavu o hodnotách maximálneho IQ v populácii n nezávisle náhodne vybratých ľudí si môžeme vytvoriť na základe 5-percentného kvantilu, 50-percentného kvantilu (t.j. mediánu) a 95-percentného kvantilu. Graf týchto kvantilov (presnejšie, graf ich aproximácií Q(0,05), Q(0,5) a Q(0,95)) v závislosti na n je nasledovný:


Z grafu je možné vyčítať napríklad to, že pre 5 miliónov ľudí, čo zodpovedá zhruba počtu obyvateľov Slovenska, je 5-, 50- a 95-percentný kvantil pre maximum IQ rovný približne 173, 177, resp. 184. Voľne povedané, na 50 percent možno očakávať, že najinteligentnejší Slovák má IQ väčšie ako 177 a na 90 percent sa dá očakávať, že jeho IQ je v rozmedzí 173 až 184. Celkom dosť, čo poviete? Len aby nám aj on neubzikol do zahraničia.

Poznámka: Samozrejme všetky podobné úvahy a výpočty sú založené na zjednodušeniach (dal by sa spochybniť napríklad predpoklad nezávislosti, rozdelenie hodnôt IQ môže byť trochu odlišné pre rôzne skupiny ľudí a to ani nehovorím o tom, že samotný pojem číselne meraného IQ je diskutabilný.) Ale vo vede sa nemôžeme báť určitých zjednodušení, pretože by sme sa nikam nedostali. Nakoniec, ako povedal Karl Popper: “Science may be described as the art of systematic oversimplification.”

Oktily a Vaše IQ

Update: 25.1.2008 - výsledky ankety na konci príspevku

Tí z Vás, ktorí nemáte záujem o malé vzdelanie sa v štatistickej terminológii a súčasne Vás štatistika nebaví, môžete v tomto príspevku skočiť hneď na (*). My ostatní sa najprv vzdeláme, alebo zabavíme.

Nech x'₁,...,x'_n označuje usporiadanie čísel x₁,...,x_n. Ako asi viete, mediánom súboru čísel x₁,...,x_n nazývame buď "prostrednú" hodnotu x'_(n+1)/2 (ak je n nepárne), alebo aritmetický priemer dvoch "prostredných" čísel x'_n/2 a x'_(n/2)+1 (ak je n párne). Okrem tejto trochu krkolomnej definície mediánu existuje aj definícia grafická, ktorá nám naviac umožňuje prirodzeným spôsobom zaviesť aj všeobecné kvantily - a ako špeciálny prípad kvartily a oktily.

Z dôvodu prehľadnosti zápisu označme číslo n-1 symbolom k. Zostrojme v rovine xy lomenú čiaru L spájajúcu body (x'₁,0), (x'₂,1/k), (x'₃,2/k), ..., (x'_n,1). Potom pre p z intervalu (0,1) dostaneme 100.p-percentný kvantil čísel x₁,...,x_n ako x-ovú súradnicu priesečníku priamky y=p s lomenou čiarou L.

Napríklad pre 6 čísel x₁,...,x₆ máme na priloženom obrázku znázornené ako skonštruovať 12,5-percentný kvantil (1.oktil), 25-percentný kvantil (2.oktil, alebo 1.kvartil), 37,5-percentný kvantil (3.oktil), 50-percentný kvantil (4.oktil, alebo 2.kvartil, alebo median :-), 67,5-percentný kvantil (5.oktil), 75-percentný kvantil (6.oktil, alebo 3.kvartil) a 87,5-percentný kvantil (7.oktil). (Uf, "37,5". alebo "87,5" sú také škaredé čísla; o čo krajšie by sa definovali oktily, keby nás evolúcia obdarila štyrmi prstami na každej ruke :-)

(*) Takže 7 oktilov nám delí skupinu čísel usporiadaných od najmenšej hodnoty po najväčšiu na 8 približne rovnako veľkých skupín. Ak by sme mali napríklad skupinu 80 rôznych čísel, tak z definície oktilov je zrejmé, že 10 z týchto čísel musí byť menších ako 1.oktil, 10 čísel musí byť medzi 1.oktilom a 2.oktilom, 10 čísel medzi 2.oktilom a 3.oktilom a tak ďalej.

V súlade s definíciou oktilov som položil nasledovnú anketovú otázku: Pokúste sa intuitívne odhadnúť, v akom rozmedzí je Vaše IQ spomedzi všetkých, ktorí sa zúčastnili, alebo zúčastnia tejto ankety. Možnosti sú:

• Top IQ = Najinteligentnejších 12,5% spomedzi účastníkov tejto ankety
• 7 = Rozmedzie od 6. po 7.oktil IQ
• 6 = Rozmedzie od 5. po 6.oktil IQ
• 5 = Rozmedzie od 4. po 5.oktil IQ
• 4 = Rozmedzie od 3. po 4.oktil IQ
• 3 = Rozmedzie od 2. po 3.oktil IQ
• 2 = Rozmedzie od 1. po 2.oktil IQ
• Bottom IQ = 12,5% najmenej inteligentných spomedzi účastníkov tejto ankety

Finta je samozrejme v tom, že ak by všetkých 40 účastníkov ankety odhadlo svoju pozíciu v rebríčku IQ správne, tak by každá kategória nutne musela obsahovať rovnaký počet odpovedí, t.j. 5. (Predpokladáme, že každý účastník ankety má inú hodnotu IQ; prípadné zhody by situáciu iba trochu zamotali.) Výsledok bol nasledovný:



Ako vidíme, do kategórie TopIQ sa zaradilo 15 ľudí, z ktorých sa teda minimálne 10 precenilo. Do hornej polovice tabuľky (kategória 5 a vyššie) sa zaradilo 35 ľudí, z ktorých aspoň 15 v skutočnosti patrí do dolnej polovice tabuľky. V najvyšších dvoch kategóriách je pritom 22 ľudí, z ktorých sa aspoň 12 precenilo a pritom minimálne dvaja precenili pozíciu svojho IQ veľmi výrazne, pretože v skutočnosti patria do dolnej polovice tabuľky :-) Z tejto ankety samozrejme nemôžeme povedať kto konkrétne sa precenil, ale s istotou môžeme tvrdiť, že veľa ľudí má tendenciu posudzovať svoje inteligenčné schopnosti veľmi nekriticky.

Rotujúca tanečnica

Keďže rotujúca tanečnica je už pár dní veľký hit a väčšina z Vás ju už videla, začnem in medias res.

Čierny tieň na obrázku sa samozrejme netočí ani v smere, ani proti smeru hodinových ručičiek; je to len dvojrozmerný objekt. Finta je v tom, že presne takýto tieň by tanečnica vrhala nech by sa točila v ktoromkoľvek z týchto dvoch smerov. Náš mozog pritom z tieňa automaticky rekonštruuje trojrozmerný objekt a ten sa môže točiť len v jedinom smere; skrátka si musí vybrať jednu z dvoch navzájom sa vylučujúcich alternatív (podobne je to v prípade Neckerovej kocky).

Pre ktorú možnosť sa teda náš mozog rozhodne? To nechajme pre nejaký psychologický blog, ale povedal by som, že tu môže hrať rolu "priming". V pôvodnom článku spomínané vysvetlenie na základe dominancie niektorej z hemisfér sa mi zdá byť nepravdepodobné. Totiž podľa toho vysvetlenia by som mal byť viac umelecky ako matematicky založený (tanečnica sa mi pri prvom pohľade točila v smere hodinových ručičiek). A to by som si už asi bol býval všimol.

Čo je však práve na tejto tanečnici také výnimočné? Moja odpoveď znie: Skoro nič. Ak by sme totiž rotovali akékoľvek teleso v smere hodinových ručičiek, tak jeho tieň bude presne taký istý, ako keby sme rotovali proti smeru hodinových ručičiek zrkadlovo preklopenú verziu toho istého telesa. (Všimnite si, že tanečnica má zodvihnutú ľavú nohu pri rotácii proti smeru hodinových ručičiek a pravú nohu ak ju vidíme rotovať v smere hodinových ručičiek.) Ľahko si to uvedomíme v dvoch rozmeroch napríklad pomocou tohoto obrázku:

A prečo som napísal že na tanečnici nie je skoro nič výnimočné? Pretože si myslím, že rotovať teleso-tanečnicu je obzvlášť účinné na dosiahnutie daného efektu. Sme totiž veľmi dobre prispôsobení práve na vytváranie si trojrozmernej predstavy ľudí; postavy nie sú pre nás len "nejaké" telesá, ale veľmi dôležité telesá a mozog s nimi zrejme narába trochu inak ako s inými objektmi. Je to možno niečo ako známy fakt, že tváre rozpoznávame oveľa spoľahlivejšie než iné, podobne komplexné obrazce.

Poznámka 18.10.: Tipol by som si, že ak by sme ako rotujúci objekt použili postavu, ktorá zdraví zdvihnutou rukou, tak väčšina z nás by mala tendenciu vidieť rotáciu v takom smere, aby náš trojrozmerný mentálny model mal zdvihnutú pravú ruku.

Acknowledgements: Na rotujúcu tanečnicu ma upozornil kolega Ján Somorčík.

Blink a šachové algoritmy

Moja dnešná malá špekulácia, inšpirovaná knihou Blink, sa týka tajomstva našej schopnosti rýchleho intuitívneho ohodnotenia objektu či situácie a toho, prečo je často takéto hodnotenie presné, ale v niektorých prípadoch sa nechá oklamať jednoduchými trikmi.



Základom väčšiny šachových programov sú dva úplne odlišné "funkčné moduly". Prvý z nich je modul na vytváranie stromu popisujúceho možné vetvenie hry podľa potenciálnych ťahov. Bez tohoto modulu by program väčšinou nenašiel ani tie najjednoduchšie kombinácie. Druhý z týchto modulov slúži na heuristické ohodnocovanie pozícií a zahŕňa množstvo rôznorodých strategických faktorov odvodených z dlhodobých hráčskych skúseností. Takéto hodnotenie je pritom možné robiť mnohými spôsobmi; jeden z nich je napríklad použiť trénované umelé neurónové siete, ktoré reprezentujú informáciu len implicitne.

Naše myslenie pozostávajúce z nadväznosti vedomých krokov je možné prirovnať k postupnému vytváraniu stromu pozícií. Na druhej strane našim inštinktom a našej intuícii - automatickému, rýchlemu a ťažko zdôvodniteľnému mysleniu bez izolovateľných medzikrokov je analogické heuristické ohodnocovanie koncových pozícií umelou neurónovou sieťou. Tieto moduly našej mysli veľmi úzko spolupracujú, podobne ako je to v šachovom programe: Bez sekvenčného uvažovania by sme síce mohli existovať, ale nášmu správaniu by chýbala plánovitosť a naopak, bez inštinktov a intuície by sme len slepo brázdili priestor všetkých možností a nevedeli by sme sa nijako rozhodnúť; chýbal by nám smer a uspokojivý cieľ.

Poznámka 9.10.: Táto predstava až prekvapivo dobre zodpovedá skutočne pozorovaným prípadom patologického uvažovania z knihy A. Damasia Decartes' error; akoby moje dva metaforické moduly skutočne existovali a bolo by ich možné "vyradiť z činnosti".

Poznámka 11.10.: Práve sa v online vydaní SME v sekcii Veda objavil článok o knihe Blink v českom preklade (Okamih).

Poznámka 14.10.: Vypočujte si podcast knihy Blink (mp3).

Nassim Nicholas Taleb: Fooled by Randomness

"Realism can be punishing. Probabilistic scepticism is worse. It is difficult to go about life wearing probabilistic glasses, as one starts seeing fools of randomness all around, in a variety of situations - obdurate in their perceptional illusion."

Jednu z viacerých kontroverzných myšlienok bestselleru Nassima Nicholasa Taleba "Fooled by randomness" by som zjednodušene opísal nasledovne:

V skoro každej oblasti ľudskej aktivity máme na výber množstvo rôznych stratégií konania, ktoré sa výrazne líšia strednou hodnotou aj varianciou potenciálneho zisku. Rozumný človek si volí obvykle tie z nich, ktoré mu so veľkou dávkou istoty zaručia slušný život, a to aj napriek tomu, že mu len s malou pravdepodobnosťou prinesú mimoriadne zisky. Avšak istý typ ľudí, často slepo odvážnych a inak skôr mdlých duchom, si volí stratégie s extrémnymi možnými ziskami, ktoré sa však spájajú aj s veľkým rizikom úplného zlyhania (krach, basa a podobne). Samozrejme, ak sa pozrieme na rebríček tých úplne najúspešnejších, najmä ak úspech meriame majetkom, tak medzi nimi bude väčšina ľudí z tejto druhej kategórie. Najinteligentnejší skrátka nie sú nijak výnimočne často zastúpení medzi tými najúspešnejšími (rozumej najbohatšími) a ani im to nie je možné nijak vyčítať, pretože

"A mistake is not something to be determined after the fact, but in the light of the information until that point."

Pochopiteľne, väčšina ľudí prijme takéto názory so zadosťučinením ;-)

Vo svojej knihe sa Taleb púšťa ako veľký ikonoklast do najvýznamnejších ľudí z finančného sveta, predstavuje ich v novom, menej oslnivom svetle, a pritom ich pomenováva skutočným menom (určite to viacerým muselo zdvihnúť mandle).

Kniha "Fooled by Randomness" sa príjemne číta kvôli svojmu humoru a širokému záberu - pre mňa osobne o to viac, že kladie do popredia pravdepodobnostné uvažovanie a simulácie metódami Monte-Carlo. Avšak všetko treba brať s istou dávkou skepticizmu ako každý čisto jednostranný pohľad .

Kľúčové slová: probability, risk, volatility, noise, law of large numbers, mean versus median, hindsight bias, survivorship bias, black swan theory, Monte Carlo simulations, evolutionary psychology, epistemology, Wall street, hedging, securities, Lucas critique, Karl Popper, Warren Buffett, Bill Gates, George Soros, Ulan Bator, dentistry :-)

Jonathan Haidt: The Happiness Hypothesis

Náučná kniha pre hĺbavého a vyspelého čitateľa o komplikovanosti našej duše a o sociálnej podstate nášho konania. Na rozdiel od množstva iných podobných knižiek, je napísaná vedcom (autor vyučuje psychológiu na University of Virginia) a nesľubuje jednoduchý návod na šťastný život za tri týždne. Tak ako u každej dobrej knihy, o čo viac ma naučila, o to sa po jej prečítaní cítim hlúpejší. Na stránkach Amazonu nájdete množstvo recenzií a na stránke k tejto knihe sa môžete dozvedieť ďalšie podrobnosti. Ak budete mať záujem si túto knihu prečítať, rád Vám ju požičiam.

Poznámky 28.8.: Kniha „The Happiness Hypothesis“ ma veľa naučila nie ani tak v otázke ľudského šťastia, ako skôr v otázke vzťahu medzi racionálnym a iracionálnym myslením a konaním (metafora jazdca, ktorý sa snaží viesť slona). Pokúsim sa popísať túto myšlienku tak, ako si ju sám interpretujem. Celkové ľudské konanie sa dá chápať ako výsledok „spolupráce“ dvoch úplne odlišných procesov mysle: jazdca a slona. Jazdec je symbolom racionality, plánovania a vedomia; slon je symbolom emócií a inštinktov, pracujúci mimo dosahu vedomia. Problémom je predovšetkým to, že slon má nad jazdcom ohromnú silovú prevahu; keď si postaví hlavu, jazdec nič nezmôže. Jazdec naozaj rozhoduje len v situáciách, v ktorých je slon úplne, alebo skoro neutrálny. Situácia je však ešte komplikovanejšia. Ak je prevaha slona príliš veľká, prekročí sa určitý „bod obratu“ a jazdec si začne aktívne vymýšľať dôvody na obhájenie toho, čo robí slon. Jazdec zmení stratégiu správania sa asi aby zabránil prílišnému psychickému napätiu, ktoré je škodlivejšie ako sebaklam. Tým sa dá, podľa mňa, vysvetliť okrem iného aj otázka, ktorá ma často trápi: Prečo aj veľmi inteligentní ľudia niekedy tvrdia očividne iracionálne nezmysli :-)