Množinu M v rovine nazývame hviezdicovo konvexnou, ak v nej existuje "centrálny" bod O, z ktorého je "vidieť" všetky body množiny M, čiže ak pre každý bod A množiny M platí, že úsečka OA je celá v množine M. Pre jednoduchosť budeme uvažovať len tie hviezdicovo konvexné množiny, ktoré sú ohraničené, a pre ktoré je centrálnym bodom bod O=(0,0).
Výsekom hviezdicovej množiny M určeným bodmi X,Y ležiacimi na hranici M nazveme útvar ohraničený úsečkami OX, OY a krivkou, ktorá tvorí hranicu množiny M medzi bodmi X a Y. (Na tomto mieste a aj ďalej predpokladáme, že sa pohybujeme od bodu X k bodu Y po hranici množiny M v "smere hodinových ručičiek"). Na ilustračnom obrázku je množina M modrá a výsek určený bodmi X,Y je červený:
Všimnime si, že kruh v rovine so stredom v O a polomerom 2 má nasledovnú vlastnosť: obsah výseku určeného hraničnými bodmi X,Y je presne rovný vzdialenosti bodov X a Y po hraničnej kružnici.
Otázka znie: Existujú aj iné hviezdicovo konvexné množiny M s vlastnosťou, že obsah výseku množiny M určeného hraničnými bodmi X a Y je rovný vzdialenosti bodov X,Y po hranici množiny M?
Poznámka: Nedefinovali sme síce presne, čo je to hranica množiny M a čo je to vzdialenosť hraničných bodov X,Y "po hranici", ale tieto pojmy by mali byť intuitívne dostatočne jasné na pochopenia jadra zadania, bez rozptyľovania sa exaktnými, no komplikovanými formálnymi definíciami.
16.8.: Riešenie úlohy nám do komentárov napísal Ivan. Stručne, množín s danou vlastnosťou je nekonečne veľa, napríklad ak dotyčnice ku hranici, všade tam, kde jednoznačné dotyčnice existujú, sú priamky vo vzdialenosti 2 od bodu O. Taká je aj nasledovná "hviezda" :)
Pochopiteľne, existuje mnoho ďalších otázok, ktoré by sme sa mohli spýtať, napríklad: 1) Je každá množina s uvedenou vlastnosťou prienikom a zjednotením systému polrovín určených priamkami vzdialenými o 2 od bodu O? 2) Aké množiny "s oblými hranicami", t.j. nie polygóny, majú túto vlastnosť? 3) Aké je zovšeobecnenie tejto úlohy do viacrozmerného priestoru?
