Membrána medzi obručami

Dve rovnaké kruhové obruče namočíme do mydlovej vody a opatrne ich od seba vzdialime. Aký tvar bude mať membrána, ktorá sa medzi nimi vytvorí?

Intuitívne sa zdá zrejmé, že membrána bude mať tvar plášťa valca, ako je to zobrazené na ilustračnom obrázku vľavo. Ale je to tak naozaj?

Túto peknú úlohu mám od otca, ktorého silnou stránkou je to, že veľmi dobre rozumie fyzike (na rozdiel od mnohých iných matematikov) a za vzorcami vidí reálny svet.

3.1.2010: Ako ste už správne napísali v komentároch, membrána medzi obručami nebude mať tvar plášťa valca; tu je dôkaz:

Vzhľadom na to, že mydlová membrána je extrémne tenká, je gravitačné pôsobenie zanedbateľne malé a jej tvar bude takmer presne zodpovedať plášťu rotačného telesa s minimálnym možným povrchom. Ako správne odhadol Vlado, úloha nájsť také teleso patrí do obasti variačného počtu a ako napísal Rasťo, výsledkom je teleso nazývané catenoid, ktoré vznikne rotáciou "reťazovky", čiže vlastne hyperbolického kosínu.

PS: Želám Vám šťastný nový rok a okrem iného veľa potešenia z nového poznania :-)

Delenie hranatého koláča II

Traja matfyzáci napiekli koláč v tvare nepravidelného konvexného šesťuholníka a teraz špekulujú nad tým, ako si ho podeliť spravodlivo, čiže tak, aby každý z nich dostal rovnakú časť koláča. Základný nápad je jednoduchý: vo vnútri koláča zvolia "centrálny" bod a od tohoto bodu budú viesť priame rezy smerom k vrcholom šesťuholníka. Poraďte im ako majú tento centrálny bod zvoliť, aby si mohli výsledných šesť trojuholníkových kúskov medzi sebou spravodlivo podeliť.

Na ilustračnom obrázku je príklad voľby takéhoto bodu a príslušného delenia: červené kúsky dostane jeden, žlté druhý a hnedé tretí. Táto úloha je už trochu náročnejšia ako predchádzajúca; pokúsme sa najprv zodpovedať otázku, či také delenie vôbec vo všeobecnosti existuje, čiže či je vôbec základná myšlienka delenia správna.

Delenie hranatého koláča.

Zábavný článok v časopise New Scientist o krájaní pizze ma inšpiroval k formulovaniu nasledovnej, podobnej, ale omnoho ľahšej úlohy:

Koláč v tvare pravidelného n-uholníka (pričom n je párne) rozkrájame na n trojuholníkových kúskov tým spôsobom, že vedieme rezy od vrcholov koláča k náhodne zvolenému bodu vo vnútri koláča. Kúsky si potom medzi sebou striedavo rozdelia dvaja ľudia. Dostanú obaja rovnakú časť koláča?

Na ilustratívnom obrázku máme znázornenú situáciu pre n=6 a n=8. Jeden človek dostane kúsky vyznačené žltou farbou a druhý človek kúsky vyznačené hnedou farbou.

Planéta X

Planéta X má tvar gule, pričom jej obývateľná zóna tvorí pás okolo rovníka, ktorého šírka je jedna šestina obvodu planéty. (Čiže najkratšia cesta od jedného kraja tohoto pásu po druhý kraj, samozrejme po povrchu planéty, má dĺžku šestinu obvodu tejto planéty.) Koľko percent povrchu tejto planéty je obývateľných? Koľko percent povrchu planéty X by bolo obývateľných, ak by bola nie troj, ale štyridsaťdvarozmerná?

Poznámka: V prípade 42 rozmernej planéty je úloha dosť náročná; už len formulovať ju matematicky presne nie je jednoduché. Ak chcete, môžeme o tom samozrejme podiskutovať a vyriešiť túto úlohu aspoň numericky...

Poznámka 3.12.: No, "dosť náročná" je pre ten 42 rozmerný prípad asi eufemizmus. "Pekelná" je asi lepší prívlastok a to napriek tomu, že riešenie je len dávno známy špeciálny prípad tvrdení z článku, ktoré sme s Vladom Lackom prednedávnom zaslali do časopisu. Ale nič to. Môžeme tu mať aj takúto úlohu. Ak by sa niekto cítil byť veľký frajer...

Osobnosti slovenskej matematiky: Lev Bukovský (pozvánka na prednášku)

(Po kliknutí na obrázok sa oznam zobrazí v plnom rozlíšení.)

Mnohí z nás si neuvedomujú, že viacerí slovenskí matematici sú medzinárodne uznávanými osobnosťami a ich výsledky sa stali v matematike pojmami. Rovnako ako národ by mal poznať svoju históriu, tak aj my, študenti matematiky a matematici ako takí, by sme mali poznať, čo svetu dala slovenská matematika.

Cyklus prednášok Osobnosti slovenskej matematiky je organizovaný študentmi Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave. Jej cieľom je priblížiť študentom ako aj odbornej verejnosti najväčšie prínosy slovenských matematikov. Každá prednáška je zameraná na dielo jednej osobnosti slovenskej matematiky, ktorá prednášku aj vedie. Dôvodom takej to formy je možnosť týchto ľudí spoznať aj osobne. Prednášky majú populárnu formu a sú koncipované tak, aby im porozumeli aj študenti a širšia odborná verejnosť.

Študenti Fakulty matematiky, fyziky a informatiky UK

Počítame semienka

To, čo je nasypané do sklenenej kocky na fotografii sú, predstavte si, sézamové semienka. Pokúste sa odhadnúť ich počet. (Kocka má hranu dĺžky približne 1 meter.)

Rozuzlenie 29.11.:

(Obrázok sa kliknutím zväčší.)

Väčšina z Vás tipovala niekoľkonásobne vyšší počet semienok, hoci rádovo správne. Zďaleka najlepšia sa však ukázala metóda odhadu počtu semienok na základe výšky Kofoly v pohári, ktorej aplikáciou vyšlo gooberovi 110 524 267.

Ja by som postupoval nasledovne: Zaplnená časť kocky semienok má rozmery zhruba 1000 × 1000 × 700 milimetrov. Aké veľké je sezamové semienko možno odhadnúť napríklad pomocou stránky "cells size and scale", ktorá je mimochodom zaujímavá aj sama o sebe. Sezamové semienko má nepravidelný tvar, ale podľa obrázka je jeho objem približne rovnaký, aký má guľôčka o polomere 1 milimeter. Guľôčky (a ani semienka) sa samozrejme nedajú naukladať tak, aby medzi nimi nebol žiadny voľný priestor; ich ideálne naukladanie necháva približne 25 percent priestoru voľného, takže odhadnime, že medzi semienkami je v skutočnosti voľného približne 28 percent objemu. Výsledkom je odhad 120 321 137. :-)

Ešte dodám, že fotografie pochádzajú z vedeckej exhibície Universum v Brémach.

Pomôžte Agátke s výzdobou

Moja dcérka Agátka dostala včera kolekciu 16 nálepiek, ktoré zodpovedajú symbolom 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, +, -, ×, /, = (v skutočnosti táto sada obsahuje aj kvietky s číslami, ale tie ignorujme). Pomôžte Agátke z týchto symbolov poskladať platnú rovnicu. Čím viac nálepiek v nej bude využitých, tým lepšie.

Napríklad rovnosť 8/4=2 je zostavená z 5 nálepiek, rovnosť 60/3=2×10 sa skladá z 8 nálepiek, ale možno (ehm) existujú aj rovnosti, ktoré používajú ešte viac týchto nálepiek...

Takáto úloha je síce trochu infantilná, ale 1. nájsť najlepšie riešenie nie je vôbec jednoduché a 2. vážnych úloh máme dosť na vyučovaní, nie? ;-)

29.11.: Ďakujeme za všetky návrhy! Agátka si vybrala a nalepila nasledovnú rovnicu:

Ako navigovať robota II

Predchádzajúca úloha sa ukázala byť celkom úspešná; viacerí z Vás našli pekné riešenia logickou úvahou a Rori dokonca našiel riešenie optimálne v tom zmysle, že je najkratšie možné. Pomocou peknej myšlienky Rori tiež vygeneroval množstvo "ťažkých" diagramov, ktoré som si trochu poprezeral a jeden z nich som modifikoval do nasledovnej podoby:

Tak ako v predchádzajúcej úlohe, cieľom je nájsť postupnosť príkazov M/C, ktorá dovedie robota do miestnosti A z akejkoľvek inej* miestnosti.


Kto nájde optimálne riešenie len v hlave, je génius. A kto nájde riešenie pomocou počítača, je schopný programátor. Možno keby som bol zamestnávateľ a chcel by som zistiť, či vie niekto naozaj programovať a algoritmicky myslieť (čo si dnes o sebe myslí skoro každý), tak by som mu dal počítač a požiadal ho, nech mi do hodiny povie riešenie tejto úlohy :-)

* Pôvodne som formuloval úlohu so slovom "inej" a takáto úloha je zmysluplná a tiež pomerne obtiažna, pričom ju vyriešil Nanyk (pozri komentáre). Pôvodný zámer bol však taký, že dané riešenie musí dostať robota do miestnosti A aj ak ten robot začína v priamo v A. Pri riešení tohto pôvodne zamýšľaného problému sa však možno dajú Nanykove myšlienky použiť ...

Ako navigovať robota I

Máme labyrint piatich miestností znázornený na ilustračnom obrázku. Medzi každými dvomi miestnosťami je práve jedna jednosmerná cesta, ktorá je buď modrá, alebo červená. V niektorej (neznámej) miestnosti tohto labyrintu je robot, ktorého síce nevidíme, ale môžeme mu posielať príkazy typu M (prejdi modrou cestou) a C (prejdi červenou cestou). Je možné vyslať robotovi takú postupnosť príkazov M/C, aby po jej vykonaní s istotou skončil v miestnosti A?

Tento príklad je motivovaný istou úlohou z knihy Ivan Moscovich: The Big Book of Brain Games.

Poznámka 3.11.: V komentároch ma upozornil misof na to, že táto úloha je príbuzná jednému otvorenému problému, ktorý súvisí s Československom. Tak som sa na to trochu pozrel a naozaj! Jedným z najznámejších otvorených problémov teórie konečných automatov je takzvaná Černého domnienka, ktorá vychádza z článku Jána Černého publikovaného priamo v slovenčine! Ako je možné, že to nepatrí ku "common knowledge" aspoň medzi slovenskými matematikmi?

Ak chcete o tomto probléme vedieť viac, tak si môžete prečítať tento pekný článok. Ale v zásade sa jedná o nasledovné: Predpokladajme, že máme podobný diagram ako v našej úlohe, pričom miestností je n a existuje nejaká pevná postupnosť príkazov, ktorá pošle robota do danej miestnosti z akejkoľvek inej miestnosti. Potom existuje aj postupnosť príkazov, ktorá toto spĺňa a jej dĺžka nepresahuje (n-1)². Černého diagram stupňa 5, v ktorom je najkratšie riešenie dĺžky 16, je znázornený na nasledovnom obrázku. (Viete to riešenie nájsť?)

Ako hrať proti telepatovi

Koncom minulého týždňa mi poslal peknú úlohu môj bývalý študent Lukáš Poláček. Ďakujem(e)! Pre náš blog ju formulujem nasledovne:

Hráči A a B budú hrať takúto hru: Obaja pošlú rozhodcovi obálku s lístkom, na ktorom je číslo od 1 po 16; je len na ich vlastnom rozhodnutí akým spôsobom toto číslo hráči zvolia. Po obdržaní oboch obálok ich rozhodca otvorí a ak sa budú čísla na lístkoch líšiť práve o 1, tak vyhráva hráč A, inak vyhráva hráč B. Problém je v tom, že hráč B je telepat a čokoľvek vie hráč A, vie ihneď aj hráč B. Hráč A sa preto rozhodol, že bude svoje číslo voliť nasledovne: Najprv si pripraví viacero lístkov, na ktoré napíše čísla v rozmedzí od 1 do 16. Z týchto lístkov potom náhodne vyberie jeden, bez pozretia ho vloží do obálky a pošle ho rozhodcovi. Poraďte hráčovi A koľko lístkov si má pripraviť a aké čísla má na ne napísať, aby maximalizoval svoju šancu na výhru.

(Pochopiteľne, ilustračný obrázok vľavo hore nemusí korešpondovať s najlepším riešením.)

Päť klubov

Predchádzajúcu úlohu sme zatiaľ vyriešili pre n ktoré je nanajvýš štyri a keďže všeobecné riešenie sa zdá byť pomerne komplikované, pokúsme sa rozlúsknuť aspoň špeciálny prípad n=5. Nasledovnú úlohu formulujem bez použitia pravdepodobnosti, len pomocou elementárnych pojmov.

V istom meste existuje päť klubov: literárny, golfový, šachový, rybársky a bowlingový. Tieto kluby majú spolu m členov, pričom každý z týchto klubov má presne m/2 členov (vieme, že m je párne, ale inak o m nevieme nič). Dvojice klubov pravidelne organizujú spoločné stretnutia, na ktoré pozvú všetkých tých ľudí, ktorí sú členmi súčasne oboch klubov. Napríklad býva stretnutie ľudí, ktorí sú súčasne členmi rybárskeho aj šachového klubu, býva tiež stretnutie ľudí, ktorí sú súčasne členmi literárneho aj bowlingového klubu a tak ďalej (spolu 10 druhov stretnutí). Každého z týchto stretnutí sa vždy zúčastnia všetci pozvaní hostia. Tvrdíme, že na niektoré stretnutie určite príde aspoň p percent z daných m ľudí. Aké je maximálne p, označme ho p₅, pre ktoré je toto tvrdenie zaručene pravdivé?

Z komentáru k predchádzajúcej úlohe vieme, že p₅ je aspoň 15% a nie je ťažké sa presvedčiť, že p₅ je najviac 25%. (Viete prečo?) Kto nájde hodnotu p₅ presne (a presvedčivo túto hodnotu zdôvodní), má u mňa čokoládu. Nie je to vôbec až také ľahké, ale ani nemožné.

Samé polovice

Nech n>=2 je prirodzené číslo. Nájdite najväčšie číslo p_n s nasledovnou vlastnosťou: Ak každá z udalostí A₁,...,A_n má pravdepodobnosť 1/2, potom existujú rôzne indexy i,j také, že pravdepodobnosť súčasného nastatia udalostí A_i a A_j je aspoň p_n.

Formulujme túto úlohu aj bez použitia pravdepodobnosti (hoci máličko menej všeobecne): Pre n>=2 nájdite najväčšie také číslo p_n, že ak zjednotenie n množín plochy 1/2 má plochu nanajvýš 1, tak plocha prieniku niektorej dvojice z týchto množín je aspoň p_n.

Je zrejmé, že p₂=0 a z ilustračného obrázku sa zdá, že p₃=1/6. Viete to dokázať? Viete nájsť hodnotu p_n pre niektoré (alebo aj všetky) čísla n>=4?

Poznámka 23.10.: Dnes ráno ma napadlo pomerne jednoduché trikové riešenie využívajúce niektoré základné poznatky z pravdepodobnosti. Hodnota p_n je prekvapivo jednoduchou funkciou počtu udalostí n, hoci výsledný vzorček je trochu odlišný pre párne a pre nepárne n.

Beta verzia "Zbierky úloh z pravdepodobnosti" je live

Ešte pred dokončením našej zbierky úloh z pravdepodobnosti sme sa rozhodli, že urobíme malý experiment: jej odľahčenú internetovú verziu. Zatiaľ sme uverejnili zadania prvých štyroch podkapitol (asi 50 úloh; celkovo ich je v zbierke vyše 400) a budeme čakať, čo na to študenti. Využijú možnosť pýtať sa nás na detaily zadaní a diskutovať o riešeniach medzi sebou? Uvidíme a podľa toho sa zariadime v budúcnosti.

Každopádne, ak máte chvíľku čas, mohli by ste sa na našu zbierku pozrieť aj Vy a prípadne nám poradiť, čo by sa na nej podľa Vás dalo zlepšiť. Budeme veľmi povďační!

Ilustračný obrázok vľavo je môj návrh na obálku tlačenej verzie zbierky. Ak k nemu máte výhrady, sem s nimi. Ešte stále je čas všetko zmeniť :-)

PS: Ak by ste aj Vy chceli vyriešiť nejakú úlohu v zbierke, ale nepoznáte pravdepodobnostnú formalizáciu z našich prednášok, vyskúšajte napríklad takú úlohu 55. Ďalšie neformálne a nie celkom triviálne úlohy prídu neskôr.

Kombinatorická identita

Už takmer 12 hodín bez väčšej prestávky pracujem na zbierke príkladov z pravdepodobnosti. (Neverili by ste, koľko je s jej napísaním roboty; ale čím ďalej, tým viac sa ma zmocňuje pocit, že keď bude naša zbierka na svete, tak z nej budeme mať radosť.)

Práve som písal riešenie jedného príkladu, v ktorom som použil nasledovnú kombinatorickú identitu:


Hľadím na ňu už asi dvadsať minút a nenapadá ma, ako by som ju dokázal. Vedeli by ste mi pomôcť?

Ďalšia zapeklitá úloha z pravdepodobnosti

Už sa teším na obdobie, keď odovzdáme do tlače našu zbierku úloh z teórie pravdepodobnosti a budem sa môcť rozpísať napríklad o nedávnej návšteve "Univerza" v Brémach, alebo o množstve zaujímavých nových odkazov. Dovtedy však zo mňa nedostanete nič viac, ako len ďalšiu zapeklitú úlohu z pravdepodobnosti. Tentokrát je podľa mňa celkom pozoruhodná a ak sa ju niekomu podarí do týždňa vyriešiť nejakým jednoduchým trikom bez použitia náhodných premenných, má u mňa dve odmeny: jeho meno sa objaví v našej zbierke a darujem mu jeden exemplár zbierky aj s podpismi autorov :-)

Dokážte, že ak súčet pravdepodobností n-tice udalostí je viac ako k-1 (pre akékoľvek k od 1 do n), tak sa s nenulovou pravdepodobnosťou realizuje aspoň k spomedzi týchto udalostí.

Napríklad ak by sme mali skupinku piatich ľudí, pričom (pravdepodobnosť, že prvý z nich spraví skúšku) + (pravdepodobnosť, že druhý z nich spraví skúšku) + ... + (pravdepodobnosť, že piaty z nich spraví skúšku) > 3, tak potom s nenulovou pravdepodobnosťou sa stane to, že skúšku spravia aspoň štyria z týchto piatich ľudí. Pritom nepredpokladáme, že udalosti urobenia skúšky sú nezávislé. (Nakoniec, predpokladať úplnú nezávislosť vypracovávania písomnej časti skúšky by naozaj bolo značne naivné.)

Na ilustračnom obrázku sú štyri množiny (mesiačiky A,B,C a kruh D), pričom neexistuje prienik všetkých štyroch. To znamená, že ak by sme akokoľvek divoko hádzali šípkou do tohto obrázka, tak súčet pravdepodobností zasiahnutia jednotlivých oblastí nemôže byť väčší ako 3.

Telepat II

Tentokrát nášmu telepatovi zaplatíme za každý uhádnutý symbol 1 euro. Telepat si postupne prikladá na čelo jednotlivé obálky, pričom vždy po chvíľke telepatovania danej obálky povie svoj tip, čo by sa v nej malo nachádzať. Vypočítajte strednú hodnotu jeho zisku, ak nemá žiadne telepatické schopnosti, avšak má dokonalú pamäť a pritom používa optimálnu stratégiu tipovania. Uvažujeme nasledovné spresnenia:

a) Počas tipovania nedostáva telepat žiadnu informáciu o obsahu obálok, t.j. všetky obálky sa otvoria až po ukončení jeho tipovania. b) Po každom tipe sa daná obálka otvorí a telepat sa dozvie, ktorý symbol v nej bol. c) Po každom tipe prezradíme telepatovi len to, či uhádol, alebo neuhádol, avšak nie to, ktorý konkrétny symbol sa v danej obálke nachádzal.

Riešenie ani jednej z týchto troch úloh nie je úplne triviálne (pokiaľ človek nenájde správny trik), preto sú veľmi vítané akékoľvek nápady, riešenia pre malé n, prípade simulačné výsledky.

Namiesto ilustračného obrázku mám dnes pre Vás link od Juraja.

Poznámka 27.8.: Ak som sa nepomýlil, tak tie stredné hodnoty zisku pri optimálnej stratégii vychádzajú vo všetkých troch prípadoch celkom pekne. Ak si s tým problémom neviete poradiť, pokúste sa aspoň odhadnúť, či pre rastúce n (n je počet rôznych symbolov, t.j. aj počet obálok) ide stredná hodnota zisku pri optimálnej stratégii do nekonečna, alebo naopak, či existuje hranica, ktorú stredná hodnota zisku nepresiahne pre žiadne n ani pri tej najlepšej stratégii. Čo hovorí Vaša intuícia?

Telepat

Tieto dni je mojou hlavnou pracovnou náplňou dokončovanie zbierky príkladov z teórie pravdepodobnosti, ktorú musíme čoskoro odovzdať do tlače. Pri spisovaní riešenia jedného príkladu ma napadla takáto netechnická formulácia vhodná aj na náš blog:

Telepat bez akýchkoľvek telepatických schopností, ktorému bolo navyše nečakane znemožnené podvádzať, sa snaží určiť n rôznych symbolov nachádzajúcich sa na kartách v n nepriehľadných obálkach. (Telepat vopred vie, aké symboly boli náhodne rozdistribuované do obálok; nevie len to, v ktorej obálke je ktorý symbol. Telepat teda priradí obálkam n-ticu symbolov úplne náhodne a až potom sa všetky obálky otvoria, aby sa zistilo, koľko symbolov uhádol.) Čo je pravdepodobnejšie: to, že neuhádne ani jeden symbol, alebo to, že uhádne práve jeden symbol?

Na ilustratívnom obrázku sú takzvané Zenerove karty, ktoré sa často používajú na testovanie proklamovaných telepatických schopností. V našom zadaní je však počet kariet všeobecné n, t.j. nielen 5. Teším sa na Vaše riešenia.

7+7=12

Ak sa Vám zdali posledné úlohy príliš matematicky technické, ponúkam Vám pre zmenu jeden detský hlavolam, ktorý však môže spôsobiť polhodinovú frustráciu aj učiteľovi na matfyze. Viem to z vlastnej skúsenosti :-) Na túto úlohu som natrafil v jednej z mojich nových kníh, ale jej názov uvediem až keď budeme mať riešenie.

Viete dokázať, že sedem je polovica z dvanástich?

Riešenie podobných hlavolamov sa zakladá na tom, že sa nájde nejaký nečakaný vysvetľujúci uhol pohľadu (ktorý by niekto mohol nazvať aj "podfuk"). Takýchto uhlov pohľadu existuje obvykle viac, avšak za správny sa považuje ten, o ktorom väčšina ľudí retrospektívne cíti, že je najjednoduchší, alebo najkrajší. V tomto zmysle nepovažujeme za správne riešenie ani to, čo som načrtol na ilustratívnom obrázku, ale ani odpovede typu "7+7=12 v dvanástkovej sústave". Správne riešenie je úplne iného typu.

Ondrova-Misofova rekurencia

Predchádzajúcu zaujímavú úlohu od Ondra by sme mali vyriešenú, ak by sa nám podarilo dokázať jednu celkom pozoruhodnú domnienku, ktorú v komentároch formuloval misof a ktorú je možné zapísať v nasledovnom tvare:


Nech Q₁=0, Q₂=1/3 a pre n=3,4,5,... nech


Potom

Numericky táto domnienka sedí natoľko presne, že jej platnosť je prakticky istá. Ide len o jej formálny dôkaz...

Ja sa do rekurencií veľmi nevyznám, ale všimol som si, že Ondrova-Misofova rekurencia spĺňa jednu peknú vlastnosť: Člen Q_n je váženým priemerom členov Q₁, Q₂,...,Q_n-2. Z toho je napríklad okamžite jasné, že všetky členy postupnosti budú medzi číslami Q₁ a Q₂. Je ale možné toto pozorovanie použiť na dôkaz skutočnosti, že postupnosť hodnôt Q_n konverguje, prípadne dokonca toho, že konverguje práve k číslu e^-2? Vyzerá to byť pekná a netriviálna matematická úloha...

Šialení diktátori

Nasledovnú úlohu nám poslal Ondro Budáč z letnej brigády v Oxforde, kde programuje simulácie istých fyzikálnych dejov. (Inak vy sa teda máte s takýmito fajnovými brigádami; ja som chodil kopať jamy na bazény.) Pôvodná Ondrova formulácia obsahuje len rad guličiek, tak som sa ju rozhodol trochu zdramatizovať.

Okolo istej hviezdy obieha na kruhovej obežnej dráhe rovnakou rýchlosťou n planét, pričom ich stredy tvoria vrcholy pravidelného n-uholníka. Každá z týchto planét vlastní atómovú bombu, ktorá je schopná zasiahnuť a zlikvidovať ktorúkoľvek z dvoch najbližších planét, nie však vzdialenejšie planéty. Z času na čas sa na niektorej z planét náhodne dostane k moci šialený diktátor, ktorý sa rozhodne zničiť niektorého zo susedov (samozrejme len ak ho ešte nezlikvidoval druhý sused). Avšak ešte skôr ako atómová bomba zasiahne napadnutú planétu, s istotou stihne aj ona vystreliť atómovú bombu na agresora a obe planéty sa tak zničia navzájom. (Pozn.: Predpokladáme, že od okamihu vystrelenia bomby na napadnutú planétu až po dopad druhej bomby na planétu agresora sa ostatné planéty zdržia konfliktov.)

Otázka znie, aká je stredná hodnota E_n planét, ktoré sa takto zlikvidujú. Zaujíma nás najmä pomer E_n/n pre n idúce do nekonečna.

Jeden možný priebeh atómových konfliktov, v ktorých sa zo 100 pôvodných planét navzájom eliminovalo 86, ilustruje nasledovné video.



Podotýkam, že tento problém je ťažký, pretože ani Ondrovi, ani mne sa ho zatiaľ nepodarilo vyriešiť (hoci je pravda, že príliš veľa času sme nad ním zatiaľ nestrávili). Kto nájde analytické vyjadrenie tajomnej konštanty, ku ktorej sa blíži E_n/n, ten má môj obdiv.

Poznámka: Ak Vám nie je zadanie úplne jasné, tak možno nájdete odpoveď na svoju otázku komentároch.

Čo najviac súkromia

Krátko po tom ako som sa vrátil z konferencie spomenutej v predchádzajúcom príspevku, odcestoval som na ďalšiu konferenciu: Petersburg Workshop on Simulation. Samotná návšteva Petrohradu bola pre mňa dosť veľký zážitok (konečne som videl na vlastné oči napríklad Auroru a Zimný palác, ktoré nám ako pionierom toľko tlačili do hláv), ale tým Vás nebudem obťažovať; cestovateľských, prípadne politických blogov je veľa.

Určite viete, že v Petrohrade je jedna z najväčších galérií na svete - Ermitáž. Pri jej návšteve som mal dvojité šťastie. Po prvé, vybrali sme sa na prehliadku náhodou práve v jediný deň v mesiaci, počas ktorého je voľný vstup a po druhé bola s nami Anastasia Ivanova, ktorá si kedysi popri učení na univerzite privyrábala robením sprievodkyne práve v Ermitáži. Takže sme nielenže nezablúdili, ale dokonca sme videli výber z tých najzaujímavejších exponátov.

V jednej z miestností utrúsila Anastasia poznámku, že nechápe, ako mohla cárska rodina bývať v budove s takmer samými priechodnými miestnosťami; nepotrebovali väčšie súkromie? Nech už to bolo s cárskou rodinou akokoľvek, ak obmedzíme maximálny počet dverí v každej miestnosti, tak istý počet priechodných miestností je nutný. A máme nasledovný rekreačný problém na náš blog:

Predpokladajme, že každá z n (nie nutne štvorcových ani obdĺžnikových) miestností v budove má nanajvýš troje dverí, ktoré ju spájajú so susednými miestnosťami. Koľko maximálne môže byť v tejto budove miestností, ktoré majú len jedny dvere? Samozrejme predpokladáme, že z každej miestnosti sa dá prejsť do každej inej miestnosti.

Na obrázku je budova s 10 miestnosťami, z ktorých je až 6 "súkromných" a žiadna miestnosť nemá viac ako troje dverí. Vítané sú samozrejme nielen riešenia, ale akékoľvek postrehy a komentáre, prípadne zovšeobecnenia.

Problém profesora Zmyśloneho

Po mesiaci skúšania, cestovania po konferenciách, iných povinností a krátkych dovoleniek som späť a hneď Vám prinášam možnosť nielen sa zabaviť, ale aj ... trochu si vylepšiť finančnú situáciu a najmä stať sa v istom kruhu matematikov slávnym. Celkom vážne. Ale jednoduché to nebude.

Na jednej z dvojice konferencií, ktoré som v poslednej dobe absolvoval (International Workshop on Matrices and Statistics) sa udiala pomerne nezvyklá vec: počas svojej prednášky vyhlásil profesor Roman Zmyślony cenu $100 za vyriešenie istého matematického problému. Na rozdiel od väčšiny príkladov na blogu QED, problém profesora Zmyśloneho si vyžaduje znalosti z vyššej matematiky, avšak napríklad druháci na matfyze, ktorí absolvovali teóriu matíc, sú určite schopní pochopiť zadanie, čo je v prípade súčasných nevyriešených problémov skôr výnimkou ako pravidlom.

Originálne zadanie si pozrite na nasledovnom zábere priamo z prednášky prof. Zmyśloneho (kliknutím sa fotografia zväčší) a potom sa o ňom porozprávame trochu podrobnejšie.


Skratka nnd znamená ''nezáporne definitné'', symbol tr znamená stopu matice a symbol H₊ je "pozitívne semidefinitná časť" symetrickej matice H. Presnejšie, ak u₁,...,u_n je ortonormálny systém vlastných vektorov matice H typu n × n a λ₁,...,λ_n sú prislúchajúce vlastné čísla, tak

(Ak žiadne z vlastných čísiel matice H nie je kladné, tak položíme H₊=0.) Dá sa ľahko ukázať, že aj ak existuje viac ortonormálnych systémov vlastných vektorov, tak H₊ je definovaná jednoznačne; t.j. nezávisí od výberu tohto systému vlastných vektorov.

Majte na pamäti, že tento problém je naozaj ťažký, takže vítané sú akékoľvek zmysluplné poznámky, ktoré by nám mohli pomôcť urobiť čo i len maličký krôčik k riešeniu.

Poznámka 1: Urobil som veľké množstvo testov tejto hypotézy s náhodne vygenerovanými pozitívne semidefinitnými maticami A a V a vo všetkých prípadoch bola Zmyśloneho domnienka splnená. Som si teda skoro istý, že platí, avšak je ju ťažké matematicky rigorózne dokázať.

Poznámka 2: Hypotéza je už dokázaná za podmienky AV=VA, t.j. ak matice A a V komutujú. (Zaujímavý je preto prípad, keď A a V nekomutujú.) Vytvoril som súbor, do ktorého budem zapisovať všetko čo zistíme (dôkaz pre komutujúce matice je už tam.) Pridajte sa tiež so svojimi nápadmi!

Medoid trojice bodov

Narýchlo len jeden príkladík; nič mimoriadne, ale aspoň že je môj vlastný :-) Napadol ma dnes pri skúšaní analýzy zhlukov na predmete "Viacrozmerné štatistické analýzy 2".

Majme trojuholník ABC s navzájom rôznymi dĺžkami strán. Z trojice vrcholov A,B,C nazveme medoidom ten, ktorý má minimálny súčet vzdialeností od zvyšných dvoch vrcholov. Je nutne medoid bližšie k ťažisku trojuholníka ABC než zvyšné dva vrcholy?

Poznámka 13.6.: V komentároch nájdete Peťove riešenie pomocou súradnicového systému, ale skoro by som sa stavil, že existuje aj nejaké veľmi jednoduché tvrdenie založené na klasickej geometrii :-) Nájdete ho?

Poznámka 14.6.: Zdá sa, že môže platiť aj nasledovné tvrdenie; vedeli by ste nájsť dôkaz?

Majme trojuholník ABC s navzájom rôznymi dĺžkami strán. Z trojice vrcholov A,B,C nazveme antimedoidom ten, ktorý má maximálny súčet vzdialeností od zvyšných dvoch vrcholov. Je nutne antimedoid vzdialenejší od ťažiska trojuholníka ABC než zvyšné dva vrcholy?

Výsledky súťaže o najkrajšiu úlohu

Chcel by som poďakovať všetkým deviatim účastníkom súťaže, ktorí nám poslali 12 super úloh, ako aj ôsmim "porotcom", ktorí sa spolupodieľali na určení nasledovného výsledného poradia:

1. miesto (57 bodov): úloha Sto väzňov od Ondreja Budáča; 2. miesto (39 bodov): úloha Mravce na tyči od Petra Richtárika; 3. miesto (31 bodov): úloha Zapadajúce množiny od Ondreja Budáča

Ďalšie poradie nebudem zverejňovať, ale aby ste si spravili predstavu o tom, aké boli výsledky tesné: úlohy, ktoré skončili od 4. do 8. miesta mali medzi 22 a 29 bodov. Zaujímavé je tiež, že porotcovia dávali veľmi odlišné hodnotenie; všetkých 8 najlepšie hodnotených úloh bolo takých, že niektorý porotca ich zaradil na jedno z prvých dvoch miest, zatiaľčo iný porotca im dal 0 bodov. Individuálna predstava čo je to "pekná úloha", je prekvapivo rôznorodá.

Takže gratulujem víťazom a Ondro odo mňa získava sľúbenú knihu.

Prsty

Priebežné výsledky sú na konci príspevku. Ak neviete o čo ide, čítajte ďalej.

Skutočne je rozdiel medzi pomerom dĺžok ukazováka a prstenníka u mužov a u žien, alebo je tento takzvaný "fenomén 2D:4D" len výmysel na oživenie koktailových večierkov?

Napadlo ma, že toto tvrdenie by sme mohli spoločne overiť priamo tu na blogu QED. Stačí, ak si odmeriaš dĺžku ukazováka a prstenníka na pravej aj ľavej ruke a okrem týchto údajov uvedieš do komentára ešte informáciu o tom, či si žena, alebo muž. Ak budeš mať chvíľu čas a pri sebe priateľov, môžeš zmerať dĺžky týchto štyroch prstov aj im (inak pre nesmelých výborná metóda nadviazania kontaktu :-); čím viac údajov budeme mať, tým lepšie. Dĺžky meraj s presnosťou na 1 milimeter od konca prstov až po spodnú vrásku deliacu prst od dlane, tak ako je naznačené na fotografii mojej pravej ruky. Postupne budem robiť príslušné štatistické testy a uvidíme, či sa teória o rôznom pomere dĺžok prstov u žien a u mužov potvrdí.


Takže meranie číslo 1 bude zodpovedať mojim vlastným prstom (P znamená pravá ruka, L ľavá ruka, u ukazovák a p prstenník): Pu 7,6 mm; Pp 8,0 mm; Lu 7,4 mm; Lp 7,9 mm.

..............

Po údajoch od 17-tich ľudí zobrazuje nasledovný graf priebežné výsledky pomeru dĺžky ukazováka a prstenníka: jednotlivé hodnoty pomeru ako bodky a 95 percentné intervaly spoľahlivosti pre strednú hodnotu pomeru ako obdĺžniky. Vertikálna súradnica dát je mierne roztrasená, čo je bežný postup ako zamedziť "zliatiu" symbolov s takmer rovnakou horizontálnou súradnicou. Ako je očividné už z grafu, naše dáta zatiaľ nesvedčia o významnom rozdiele medzi mužmi a ženami. Formálne: nepárový dvojvýberový t-test pre rovnosť stredných hodnôt pre pravú ruku dáva zatiaľ p hodnotu približne 0,7 a pre ľavú ruku približne 0,9. Na zistenie signifikantného rozdielu (ak existuje) potrebujeme ešte pomerne veľa dát. Zapojte sa!


Každopádne už teraz je jasné, že rozdiel medzi mužmi a ženami je veľmi malý (aj keď možno zistiteľný pri veľkom súbore ľudí) a určovať pohlavie len na základe pomeru dĺžok prstov je skoro ako určovať ho hodením mincou.

Intervaly spoľahlivosti v prieskumoch verejnej mienky

S potešením konštatujem, že agentúra FOCUS ku prieskumu momentálnej podpory politických strán uvádza okrem samotných percentuálnych odhadov aj intervaly spoľahlivosti. Rozhodol som sa preto, že stručne popíšem o čo ide.

Predstavme si, že máme škatuľu, v ktorej je veľmi veľký počet farebných guliek, pričom nás zaujíma pomer p, koľko z týchto guliek je červených. (Pre prieskumy môže "škatuľa" znamenať rozsiahly reprezentatívny zoznam oprávnených voličov a "červené guľky" môžu byť povedzme tí voliči, ktorí by momentálne volili stranu SMER.)

Pri obrovskom počte guliek nie je mysliteľné, aby sme preskúmali farbu každej z nich. Takže vykonáme len jednoduchý náhodný výber relatívne malého počtu guliek (tento počet, nazývaný tiež rozsah výberu, si označíme n), zistíme koľko je z nich červených (nech je to k) a výsledný pomer (t.j. hodnotu k/n) prehlásime za náš odhad neznámej hodnoty p. Interval spoľahlivosti (IS) vyjadruje rozsah, v ktorom "s veľkou mierou istoty" leží skutočný pomer p, ktorého je k/n len často nepresným odhadom. Pokúsme sa vysvetliť tento intuitívny popis IS matematicky presnejšie.

Približný 95 percentný interval spoľahlivosti pre hodnotu p vypočítame ako k/n plus mínus δ, kde


V predchádzajúcom vzorci je p so strieškou náš odhad hodnoty p, t.j. k/n a konštanta 1,96 je takzvaná kritická hodnota normálneho rozdelenia. Hodnota δ sa v angličtine nazýva "margin of error" a v slovenčine ju budem nazývať hraničná chyba.

Odhad k/n je teda stredom IS a čím je väčšie n, t.j. čím je väčší rozsah nášho náhodného výberu, tým je menšia hraničná chyba a užší výsledný interval. To súhlasí s našou intuíciou ako asi by sa mal IS správať. Ale prečo práve takýto vzorec? A čo vlastne znamená číslo 95?

Predstavme si, že náš experiment s vybratím n guliek zopakujeme mnohokrát a zakaždým použijeme hore uvedený vzorec pre konštrukciu IS. Potom približne v 95 percentách prípadov bude skonštruovaný interval obsahovať skutočný pomer p červených guliek v škatuli. Presvedčiť sa o platnosti predchádzajúcej vety si vyžaduje absolvovať základný kurz teórie pravdepodobnosti (aspoň po centrálnu limitnú vetu), ale pochopiť význam IS je možné aj bez toho. Ešte raz inými slovami: 95 percentný IS je interval vypočítaný metódou, ktorá dáva v 95 percentách prípadov jej použitia interval obsahujúci hodnotu p skutočného podielu.

Predpokladajme napríklad, že zo škatule sme vybrali presne 1000 guliek. Potom hraničná chyba v závislosti od odhadu k/n je zobrazená na nasledovnom grafe (všetko som vynásobil číslom 100, t.j. aj odhad neznámeho pomeru p aj hraničná chyba je na grafe uvedená v percentách):


Napríklad ak by v našom náhodnom výbere bolo presne 40 percent červených guliek, je hraničná chyba približne 3 percentá a 95 percentný interval spoľahlivosti pre skutočné percento červených guliek v šaktuli je 37 až 43. Ak by spomedzi vybratých guliek bolo 20 percent červených, bola by hraničná chyba približne 2,5 percenta a 95 percentný IS by bol 17,5 až 22,5.

Čo sa týka prieskumov verejnej mienky, tak je situácia samozrejme trochu zložitejšia. Po prvé, prieskumná agentúra môže použiť sofistikovanejší výber respondentov ako je len obyčajný náhodný výber; napríklad môže robiť takzvaný stratifikovaný náhodný výber, ktorý odhady spresní. A po druhé, je pravdepodobné, že intervaly spoľahlivosti bude agentúra počítať exaktnou metódou a nie len našim jednoduchým, avšak len približným vzorčekom.

Každopádne intervaly spoľahlivosti uvedené v správe agentúry FOCUS s počtom odpovedajúcich respondentov n=709 sú prakticky identické s tým, čo by sme dostali použitím našej metódy (okrem uvedeného intervalu spoľahlivosti pre Slobodné Fórum, kde agentúra zjavne urobila chybu).

Poznámka: Všimnite si, že krajná chyba, t.j. vlastne presnosť nášho odhadu, nezávisí od počtu všetkých guliek v škatuli, resp. od počtu všetkých potenciálnych voličov (kvôli vrtákom: predpokladáme náhodný výber s vrátením, čo je však prakticky identická situácia ako náhodný výber bez vrátenia ak je rozsah výberu o niekoľko rádov menší ako veľkosť základnej populácie). Takže aj ak by bolo potenciálnych voličov milión, aj sto miliónov, aj sto miliárd, náhodný výber rozsahu 1000 nám poskytne zakaždým rovnako presný odhad o podiele potenciálnych voličov strán.

Veľký a malý trojuholník

Prednedávnom som natrafil na jeden príjemný a pomerne slávny príklad zo stredoškolskej geometrie, ktorý ma dosiaľ akosi obišiel. Možno ho nepoznáte a jeho riešenie Vás poteší tak ako potešilo mňa:

Majme "veľký" rovnostranný trojuholník ABC, pričom na stranách AB, BC, CA sú body D, E, F zakreslené tak, že |AD|/|AB|=|BE|/|BC|=|CF|/|CA|=1/3, kde symbol |.| označuje dĺžku úsečky. Prienik trojuholníkov ABF, BCD a CAE nazvime "malý" trojuholník. Aký je pomer plôch "malého" a "veľkého" trojuholníka?

Správna odpoveď je samozrejme len jediná, ale spôsobov ako sa k nej dopracovať je veľa. Som zvedavý, kto z Vás príde na ten najkrajší.

Osobnosti slovenskej matematiky: Pavel Brunovský

(Po kliknutí na obrázok sa oznam zobrazí v plnom rozlíšení.)

Mnohí z nás si neuvedomujú, že viacerí slovenskí matematici sú medzinárodne uznávanými osobnosťami a ich výsledky sa stali v matematike pojmami. Rovnako ako národ by mal poznať svoju históriu, tak aj my, študenti matematiky a matematici ako takí, by sme mali poznať, čo svetu dala slovenská matematika.

Cyklus prednášok Osobnosti slovenskej matematiky je organizovaný študentmi Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave. Jej cieľom je priblížiť študentom ako aj odbornej verejnosti najväčšie prínosy slovenských matematikov. Každá prednáška je zameraná na dielo jednej osobnosti slovenskej matematiky, ktorá prednášku aj vedie. Dôvodom takej to formy je možnosť týchto ľudí spoznať aj osobne. Prednášky majú populárnu formu a sú koncipované tak, aby im porozumeli aj študenti a širšia odborná verejnosť.

Študenti Fakulty matematiky, fyziky a informatiky UK

Tip

V rámci svojej prípravy na počítačovú štatistiku som práve dočítal veľmi poučnú pedagogickú knihu "Teaching statistics - a bag of tricks" od Andrewa Gelmana a Deborah Nolanovej. Z tejto a aj z iných kníh týkajúcich sa vyučovania som si uvedomil, že pre kvalitnú prednášku je najdôležitejší eminentný záujem na tom, aby si študenti z prednášky odniesli čo najviac a hlavne veľmi dôkladná pravidelná príprava. Keď som si pomyslel na niektorých vyučujúcich, ktorých som osobne poznal, musel som sa len trpko pousmiať. (Hovorím však skôr o výnimkách, aspoň teda u nás na matfyze.) Ale nie o tom som chcel písať. Jedna aktivita so študentami, ktorá sa v tejto knihe spomína, ma inšpirovala k nasledovnej úlohe:

Hodím súčasne dvadsiatimi jednoeurovými mincami. Ak sa Vám podarí vopred uhádnuť, na koľkých z týchto mincí padne znak, tak Vám všetky mince, na ktorých padol znak, darujem, len si po ne musíte ku mne domov prísť. Ak by som predchádzajúce dve vety myslel vážne (čo nemyslím :-), aký počet padnutých znakov by ste si zvolili ako svoj tip?

Táto úloha je síce veľmi ľahká, ale ak by sa Vám zdala až triviálna, tak ste asi nevzali do úvahy všetky jej "praktické" aspekty.

Binárny kruh

Nasledovný problém je modifikáciou istej úlohy, ktorú vymyslel môj bývalý spolupracovník a v súčasnosti jeden z najbystrejších dôchodcov v širokom okolí, docent Juraj Pavlásek. O tejto úlohe sa neskôr ukázalo, že ju ľudia riešili už pred desiatkami rokov (samozrejme pod iným názvom), ale to nám nebráni vyskúšať si na nej naše kombinatorické, prípadne programátorské schopnosti.

Binárnym kruhom stupňa m nazveme reťazec 2^m núl a jednotiek zapísaný do kruhu, v ktorom je každý podreťazec dĺžky m iný (všetky podreťazce čítame v smere hodinových ručičiek) alebo, ekvivalentne, ktorý ako podreťazce obsahuje všetky binárne postupnosti dĺžky m. Nájdite binárny kruh pre čo najväčšie m.

Na obrázku je zakreslený jeden z viacerých možných binárnych kruhov stupňa 3, pretože ako podreťazce obsahuje samé rôzne trojice binárnych cifier: 111, 110, 101, 010, 100, 000, 001 a 011 (t.j. obsahuje všetky možné trojice binárnych cifier).

PS: Ak by som sa už najbližšie dni na blogu neozval, tak Vám všetkým želám príjemné veľkonočné sviatky.

Poznámka 14.4.: Pre tých, ktorých úloha zaujala, ale nevedia ako ju riešiť, mám pomôcku: hoci sa to možno nezdá, binárnych kruhov je pomerne veľa a pre stupne 4, prípadne aj 5, je možné nájsť aspoň jeden binárny kruh na počítači skúšaním náhodne vygenerovaných binárnych očíslovaní.

Dysonovo číslo

Pred niekoľkými dňami sa v The New York Times objavil obsiahly a zaujímavý článok o žijúcej legende teoretickej fyziky Freemanovi Dysonovi. Hoci samotný článok sa zameriava predovšetkým na Dysonove kontroverzné vyhlásenia týkajúce sa globálneho otepľovania, k napísaniu tohto blogového príspevku ma vyprovokovala jedna nasledovná krátka pasáž, ktorá s globálnym otepľovaním nemá nič spoločné:

... A group of scientists will be sitting around the cafeteria, and one will idly wonder if there is an integer where, if you take its last digit and move it to the front, turning, say, 112 to 211, it’s possible to exactly double the value. Dyson will immediately say, "Oh, that’s not difficult," allow two short beats to pass and then add, "but of course the smallest such number is 18 digits long." When this happened one day at lunch, William Press remembers, “the table fell silent; nobody had the slightest idea how Freeman could have known such a fact or, even more terrifying, could have derived it in his head in about two seconds."

Vedeli by ste toto číslo nájsť aj Vy?

Hlasujte za najkrajšiu úlohu!

Hlasovanie o najkrajšiu úlohu je už ukončené; pozri výsledky. Nasleduje pôvodný text príspevku.

Nadišiel čas aby ste spomedzi našich 12 súťažných úloh vybrali tú najkrajšiu. Po istom čase zvažovania som sa rozhodol, že Vaše hlasovanie urobím prostredníctvom e-mailu. Tým sa vyrieši viacero problémov, napríklad sa zamedzí možnosti anketového vandalizmu, duplicitného hlasovania a okruh hlasujúcich sa zúži len na tých, ktorí majú o naše úlohy skutočný záujem, čo dáva záruku zodpovedného posudzovania. Naviac, od každého hlasujúceho môžem e-mailom dostať oveľa viac "bitov" informácie ako z bežnej ankety, ktorú poskytuje blogspot.

Ak Vás teda naša súťaž zaujala, pošlite mi prosím e-mail s usporiadaným zoznamom maximálne 8 úloh, ktoré sú podľa Vás z uverejnenej dvanástky najlepšie. Prvá úloha v zozname dostane od Vás 10 bodov, druhá 8 bodov, tretia 6 bodov, štvrtá 5 bodov, ..., až maximálne ôsma 1 bod, presne tak ako na pretekoch F1. Úlohy, ktoré nebudú vo Vašom zozname získavajú 0 bodov. Ten, koho úloha od Vás získa najvyšší bodový priemer*, stane sa víťazom našej súťaže (a odo mňa dostane knihou).

Samozrejme, nikto okrem mňa sa nedozvie ako ste ktorú úlohu zaradili; zverejním len celkové počty bodov prvých troch úloh. Hlasovanie ukončíme 30.5.2009, prípadne akonáhle dostanem 18 hlasovacích e-mailov (ako veľkých cien v F1-tke; takýto záujem o hlasovanie však nepredpokladám :-)

*Ak si Ty sám/sama autorom/autorkou niektorej z úloh, môžeš samozrejme hlasovať tiež. Po počiatočných pochybnostiach ohľadom objektívnosti ohodnotenia svojej vlastnej úlohy som sa rozhodol pristúpiť na Peťov návrh, totiž že autor z hlasovania vynechá svoju vlastnú úlohu, ale aby nebol znevýhodnený samotným faktom, že hlasoval, celkové hodnotenie úlohy budem počítať ako priemerné hodnotenie danej úlohy neautormi.

PS: Pre jednoduchosť uvediem kompletný zoznam úloh, ktorý si môžete napríklad skopírovať do vhodného programu a tam myškou usporiadať:

• Sto väzňov


• Zapadajúce množiny


• Problém lámání stébla


• Dve fľaše


• Prieskumná expedícia


• Ako si zašnurovať topánky


• Všetky uhly sú rovnaké


• Stěhovací problém


• Mount & Blade


• Mravce na tyči


• Pohľady


• Biliardové gule

Teším sa na Vaše hlasy!

Zauzlený problém

V prvom rade by som chcel poďakovať všetkým, ktorí sa zúčastnili nedávnej ankety. Jej výsledky nebudem podrobnejšie rozoberať, avšak musím poznamenať, že ma povzbudili a dozvedel som sa z nich dôležité informácie ohľadom ďalšieho smerovania blogu. Poďme ale k úlohe, ktorá sa vykľula z mojej sobotňajšej zábavy s kreslením v R-ku.


Na obrázku vyššie (kliknutím sa zväčší) máme zobrazené slučky z gumy. Ktoré z nich sú rovnaké v tom zmysle, že je ich možné dostať jednu z druhej len naťahovaním a deformovaním, nie však pretrhnutím a zliepaním?

Biliardové gule (súťažná úloha č.12)

Poslednú, dvanástu úlohu do našej súťaže vymyslel môj študent a súčasne spolupracovník Vladimír Lacko:

Na biliardovom stole v dokonalom svete matematických modelov máme položené tri gule A, B a C, všetky s polomerom r. Stredy gulí B a C sú navzájom vzdialené d cm a stred gule A má vzdialenosť h cm od priamky p spájajúcej stredy gulí B a C (pozri obrázok). Do gule A udrieme tágom tak, aby sa pohybovala rovnobežne s priamkou p. Aká môže byť maximálna vzdialenosť h, aby guľa A odrazila guľu B tak, že guľa B (bez odrazu od mantinela biliardového stola) následne narazí do gule C?

Onedlho napíšem príspevok ohľadom spôsobu určenia víťaza súťaže; tipnúť si víťaza netrúfam, pretože sme na moje veľké potešenie dostali množstvo naozaj super úloh. :-)

Pohľady (súťažná úloha č.11)

Jedenástu súťažnú úlohu nám poslal Jozef Gábik, študent 4. ročníka FMFI UK:

V kruhu je rozostavených n ľudí. Na povel si každý z nich úplne náhodne zvolí jedného človeka, ktorému sa pozrie do očí. Označme ako p(n) pravdepodobnosť, že sa nejaké pohľady stretnú. Aká je limita pravdepodobností p(n) pre n idúce do nekonečna? (T.j. aká je pravdepodobnosť p(n) pre "veľmi veľký" počet ľudí n?)

Táto pekná úloha je Jozefov vlastný nápad; inšpiráciou mu bola skutočná hra skautov v jeho zbore. Vzorové riešenie nemáme, takže som zvedavý, kto z Vás vypočíta správny výsledok ako prvý.

Alino a piškóty

Náš pes Alino má veľmi rád návštevy, no ešte radšej má piškóty. Keď príde návšteva, existuje len jediný spôsob ako sa ho aspoň na čas zbaviť: rozhádzať mu po zemi piškóty a kým ich všetky nepožerie, je od neho pokoj.

Avšak piškóty nám už zostali iba tri. Ako ich máme rozložiť do štvorcovej miestnosti s rohmi ABCD, aby trvalo Alinovi čo najdlhšie, kým ich všetky zožerie? Predpokladáme, že Alino začína svoju mlsnú prechádzku pri nás v rohu A a kráča konštantným tempom vždy priamou cestou k najbližšej piškóte. Ak sú dve piškóty rovnako vzdialené, vyberie si Alino úplne náhodne, za ktorou z nich sa vyberie. Zožratie piškóty mu trvá, samozrejme, zanedbateľne krátky čas. Keď už nie je čo jesť, vráti sa naspäť do rohu A, aby nás mohol opäť obšťastňovať.

Možno mi neuveríte, ale moji rodičia majú naozaj psa s menom Alino (bordeauxka doga na obrázkoch) a metódu rozhadzovania piškót skutočne občas používajú. Jedná sa teda o problém aplikovanej matematiky. :-)

Magická hviezda

Nemám už dnes síl seriózne pracovať a preto som sa rozhodol, že k rybám pridám ešte jednu matematickú úlohu úplne iného charakteru; na jej vyriešenie stačí vedieť sčitovať čísla od 1 do 12 :-). Mám ju z príjemnej a čerstvej knihy "Cabinet of Mathematical Curiosities" od známeho profesora z Warwicku Iana Stewarta.

Do krúžkov na obrázku doplňte čísla od 1 do 12 (každé z týchto dvanástich čísel je potrebné použiť práve raz), aby bol súčet každej štvorice čísel spojených úsečkou a taktiež šestice čísel na vonkajšej kružnici práve 26.

Poznámka 3.3.: V komentároch nájdete viaceré možné riešenia a iné zaujímavosti týkajúce sa tejto a podobných úloh.

Ryby II

Predpokladajme, že hmotnosť ulovených rýb má rovnomerné náhodné rozdelenie na intervale 0kg až 1kg, rovnako ako v prvom príklade o rybách. Tentoraz však pozmeníme pravidlo ukončenia rybačky:

Budem chytať ryby až dovtedy, kým neulovím prvú rybu, ktorá je ľahšia ako predchádzajúca ulovená ryba. (Domov si odnesiem aj túto ľahšiu rybu.) Aká je stredná hodnota počtu rýb, ktoré takto ulovím? Aká je stredná hodnota celkovej hmotnosti rýb, ktoré si odnesiem domov?

S úlohami o strednej hodnote počtu ulovených rýb som sa prvýkrát stretol vo veľmi peknej knihe "Matematika náhody" od profesora Jiřího Anděla z MFF UK v Prahe. Otázky týkajúce sa strednej hodnoty celkovej hmotnosti ulovených rýb sa však v tejto knihe neriešia, zrejme z toho dôvodu, že sú ťažšie. Ja sám ich neviem presvedčivo zodpovedať bez použitia dosť pokročilého aparátu teórie pravdepodobnosti. Kto ich zodpovie pomocou elementárnej matematiky, má môj obdiv.

Nové ankety

Poznámka 26.3.: Anketu sme už uzavreli. Jej výsledky si môžete pozrieť na tomto odkaze.

Na blogu QED je návštevníkov pomerne veľa; pred rokom som mal v priemere tak 50 návštev denne, posledné mesiace je to už približne 80. Zdá sa však, že väčšina ľudí sem zavíta jednorázovo, alebo dokonca tak trochu omylom. (Minule sa niekto dostal na QED po tom, čo si dal vyhľadávať slová blázon+matfyz. Ale toto práve omyl ani veľmi nebol. Omylom sa sem dostali skôr tí, ktorí vyhľadávali napríklad guličky+do+jazyka, alebo najnovšie+správy+z+bulváru.)

Rozhodol som sa preto urobiť malý prieskum Vašich názorov, ktorý by mohol pomôcť tento blog pre Vás trochu zatraktívniť.

V prvom formulári (pozri vpravo hore pod upútavkou na súťaž) sa Vás pýtam, ako často blog QED navštevujete. Ak ste tu už boli viackrát, vyplňte prosím aj druhý formulár, v ktorom sa Vás pýtam na Vaše celkové hodnotenie od A po Fx, ako na skúške. Prosím, nedávajte mi Fx len kvôli tomu, že nemáte radi matematiku. Hodnoťte skôr to, ako dobrý je tento blog pre tých, ktorí matematiku radi majú.

Najviac informácie môže priniesť tretí formulár; všimnite si, že v ňom môžete označiť viacero možností súčasne. Nezabudnite, že počet príspevkov mesačne z časových dôvodov nemôžem veľmi zvýšiť. (Nakoniec, keby som nerobil predovšetkým niečo iné ako písanie blogu, nemal by som veľmi o čom písať.) Takže napríklad nemá zmysel zaškrtnúť súčasne veľa políčok; ideálne tak okolo polovice.

Samozrejme, najlepšie ma usmerníte priamo komentárom k tomuto príspevku.

PS: Ak ste študentom matfyzu, vyplňte prosím aj anketu FMFI UK. Vám samotným, Vašim mladším spolužiakom a aj väčšine vyučujúcich Vaše hodnotenie, najmä to slovné, pomôže. Ale nezabudnite. Najúčinnejšia kritika je tá, ktorá je napísaná slušne a kultivovane. Urážlivé vyjadrenia ohľadom vyučujúcich môžu byť práve vodou na mlyn pre tých, ktorí by boli najradšej, keby sa Vaša (naša) anketa úplne zrušila.

Ryby

Do ukončenia súťaže nám chýbajú už len dve úlohy, takže neváhajte a niečo pošlite; veď pekných matematických úloh je približne nekonečne veľa. Napríklad táto:

Rozhodol som sa, že budem chytať ryby (po jednej) až dovtedy, kým ich celková hmotnosť neprekročí 1kg. Aká je stredná hodnota počtu rýb, ktoré ulovím? Viem, že v mojom rybárskom revíre má hmotnosť ulovených rýb rovnomerné náhodné rozdelenie medzi 0 kg a 1 kg.

Poznámka 1: Stredná hodnota je "asymptotický priemer", t.j. to číslo, ku ktorému by sa blížil aritmetický priemer chyteného počtu rýb v prípade, že by som takýmto spôsobom a za rovnakých podmienok rybačku neustále opakoval. Rovnomerné náhodné rozdelenie medzi 0 kg a 1 kg znamená to, že pravdepodobnosť, že ulovená ryba bude mať menej ako m kg, je rovná presne m (pre m medzi nulou a jednotkou). Mal by som však dodať, že náš príklad nie je úplne triviálny a ak ste sa so základmi pravdepodobnosti a matematickej analýzy dosiaľ nestretli, tak sa Vám bude riešiť dosť ťažko. Simulačne sa však výsledok dá celkom spoľahlivo "uhádnuť".

Poznámka 2: Túto úlohu už údajne poznal Laplace, hoci formulácia s rybami je novšieho dáta.

Poznámka 3: Keď ukončíme súťaž o najkrajšiu matematickú úlohu, zorganizujem súťaž o najkrajší matematický obrázok. Čo vy na to?

Glimpse into the hyperspace

... tak som nazval sériu obrázkov vygenerovaných krátkym programíkom v jazyku R, ktorého základnou myšlienkou je priemet špeciálnych kriviek v mnohorozmernom priestore do zvoleného dvojrozmerného podpriestoru. Sám som bol prekvapený, aké rôznorodé útvary je možné takouto technikou vytvoriť. Na YouTube som uploadol detailné video, ktoré si v nižšom rozlíšení môžete pozrieť aj tu:



Ak by mal niekto z Vás záujem implementovať program na vytváranie takýchto obrázkov ako samostatnú aplikáciu, zastavte sa za mnou a rád Vám použitý matematický princíp vysvetlím podrobnejšie.

Exponenciálna funkcia v komplexnej rovine

Nasledovné video je animáciou funkcie


pričom t je čas v rozmedzí 0 až 2π. Všimnite si, že pre t=0 máme obyčajnú komplexnú exponenciálnu funkciu, zatiaľčo pre t=π sa jedná o funkciu exp(1/z), keďže exp(iπ)=-1.



Farbu som pre toto video volil tak, že reálna zložka zodpovedá "dimenzii h", čiže hue a komplexná zložka "dimenzii s", čiže saturation, v hsv parametrizácii farieb.

Prednáška na sústredení KMS

Len veľmi stručne: Včera som bol spolu s kolegom Martinom Nieplom urobiť prednášku na sústredení KMS v škole v prírode "Patrovec" pri Trenčianskom Jastrabí. Na našom katedrovom serveri je voľne dostupná moja prezentácia. Je písaná pre stredoškolákov, čiže formálne nie celkom presne, ale napriek tomu Vás možno zaujme.