Ekvidištantné permutácie

  Nech σ=(σ₁,σ₂,...,σ_n) je permutácia čísiel 1,2,...,n. Ak v rovine postupne spojíme body (σ₁,σ₂), (σ₂,σ₃),...,(σ_n-1,σ_n), (σ_n,σ₁) a (σ₁,σ₂), dostaneme euklidovský graf, ktorý permutáciu σ plne charakterizuje. Na nasledovnom obrázku sú znázornené grafy permutácií (1,3,4,2) a (1,2,5,6,3,4).

Všimnite si, že grafy na obrázkoch majú jednu zaujímavú vlastnosť: rovnakú dĺžku všetkých hrán. Otázka znie:

Existuje permutácia čísiel 1,2,...,n, kde n>6, ktorej graf má všetky hrany rovnakej dĺžky?

Reťaze z mincí

Pri príležitosti dňa čísla π som pre Vás vymyslel nasledovnú úlohu (tento krát pomerne jednoduchú :).

Na obrázkoch sú dve reťaze vytvorené z mincí. Ktorá z nich má väčší vnútorný obvod?

Pod vnútorným obvodom myslíme dĺžku hranice "mláčky", ktorá by vznikla, ak by sme medzi mince naliali vodu (samozrejme za predpokladu, že by tá voda pomedzi mince nepretiekla). Teším sa na Vaše riešenia.

Poznámka 16.3.: Túto úlohu je možné vyriešiť matematicky; nejde o skúšku Vášho vizuálneho odhadu.

Pozoruhodná potvora

Matematické funkcie môžu mať veľmi komplikované vlastnosti, a to aj v prípade, keď sú definované jednoduchým predpisom. Včera mi pri riešení jedného príkladu vyskočila takáto pozoruhodná potvora:

 

kde λ je reálna konštanta. Čo všetko sa o nej dá povedať?

Po prvé si uvedomíme, že táto funkcia je dobre definovaná, pretože členy uvedeného nekonečného súčinu sú pre každé x od istého n v intervale (0,1), takže limita, ktorá určuje tento nekonečný súčin, existuje a je konečná. Tiež si hneď všimneme, že pre celé čísla x rôzne od nuly platí f(x)=0. Avšak prakticky akákoľvek ďalšia vlastnosť tejto funkcie je už netriviálna, ako naznačuje aj jej graf pre λ=1.5365:

Ak si niekto z Vás myslí, že je naozaj dobrý v matematickej analýze, môže sa pokúsiť zodpovedať napríklad nasledovné otázky:

• Je hodnota f(x) nenulová pre každé kladné neceločíselné x?
• Aká je množina tých hodnôt λ, pre ktoré je funkcia f ohraničená na celom R?
• Je derivácia tejto funkcie nenulová v každom bode x=2^k, kde k je celé nezáporné číslo?

A ak sa niekomu z Vás podarí zodpovedať na všetky tri tieto otázky do týždňa (samozrejme s rigoróznym dôkazom), tak mu darujem svoj The Princeton Companion to Mathematics, lebo tak bude pravdepodobne v lepších rukách ;-)