Toto je prvý v sérii príspevkov, ktorými sa pokúsim ozrejmiť Banachov-Tarskeho paradox, ako som
kedysi sľúbil. Čiastočne sa pritom budem držať knihy Leonarda Wapnera "
The Pea and the Sun". Na začiatok úplne postačí, keď sa nám podarí
pochopiť presné znenie tohoto paradoxu. Potrebujeme k tomu niekoľko matematických definícií na úrovni obtiažnosti nepresahujúcej prvý ročník na matfyze.
Nech E
n je Euklidovský priestor, napríklad priamka (pre n=1), rovina (pre n=2), alebo klasický trojrozmerný priestor (pre n=3). Nech v je vektor v E
n a nech U je
matica rotácie typu nxn. Zobrazenie f, ktoré priradí každému bodu x v E
n bod x+v, nazveme
translácia (posun) a zobrazenie g, ktoré priradí každému bodu x v E
n bod Ux nazveme
rotácia (pootočenie). Ľahko si uvedomíme, že rotáciou v E
1 je len jediné zobrazenie a to
identické. Každú rotáciu v E
2 si môžeme predstaviť ako pootočenie okolo bodu (0,0) a každú rotáciu v E
3 si môžeme predstaviť ako pootočenie okolo nejakej priamky prechádzajúcej bodom (0,0,0).
Nech f je posun o vektor v, nech g je rotácia definovaná maticou rotácie U a nech M je nejaká množina v E
n. Transláciou f množiny M nazveme množinu všetkých bodov tvaru x+v, kde x je bod z M a rotáciou množiny M nazveme množinu všetkých bodov tvaru Ux, kde x je bod z M. Ako príklad som na nasledovnom obrázku načrtol modrým transláciu f(M) zelenej množiny M o vektor (2,1) a ružovým rotáciu g(M) množiny M o uhol α=π/4 (t.j. o 45 stupňov).
Rozkladom množiny M nazývame každý systém M
1,...,M
k navzájom disjunktných podmnožín množiny M, ktorých zjednotenie je M. Dve množiny A a B v priestore E
n nazveme
zhodne rozložiteľné, ak existuje rozklad A
1,...,A
k množiny A a rozklad B
1,...,B
k množiny B tak, že pre každé i=1,...,k je množina B
i zrotovaná a posunutá množina A
i, t.j. existujú translácie f
1,...,f
k priestoru E
n a rotácie g1,...,gn priestoru E
n, že pre všetky i=1,...,n platí B
i=f(g(A
i)). To, že sú množiny A a B zhodne rozložiteľné, označíme A~B.
Čiže, veľmi voľne povedané, A~B znamená, že A je možné rozbiť na kúsky, z ktorých len posunutím a zrotovaním môžeme poskladať B. Ako príklad som načrtol obrázok dokazujúci A~B pre pravouhlý rovnoramenný trojuholník A (bez jednej odvesny) a štvorec B (bez jednej strany) s rovnakým obsahom ako má A.

Pripomeňme ešte, že pod pojmom guľa v E
3 s polomerom r a stredom v bode P rozumieme množinu tých bodov E
3, ktorých vzdialenosť od P je
menšia, alebo rovná r.
Znenie Banachovho-Tarskeho paradoxu (vo formulácii nazývanej ''pea and the Sun''): A
kékoľvek dve gule v E3, nie nutne s rovnakým polomerom, sú zhodne rozložiteľné.
Banachov-Tarskeho paradox je teda (dokázateľne platné) matematické tvrdenie že, voľne povedané, akúkoľvek malú trojrozmernú guľu vieme rozbiť na konečný počet podmnožín, z ktorých len pootočením a posunutím vieme poskladať (plnú) guľu s akokoľvek veľkým polomerom. Vaše prípadné nejasnosti a námietky napíšte do komentárov a ja sa Vám ich pokúsim vysvetliť resp. odmietnuť :)