Timothyho úloha

V úvodnej časti knihy Princeton Companion to Mathematics uviedol Timothy Gowers ako príklad kombinatorickej úlohy nasledovné zadanie:

Koľko existuje nula-jednotkových matíc rozmeru n × n, ktoré majú v každom riadku aj v každom stĺpci maximálne dve jednotky?

Timothy sa neunúva dať na túto otázku odpoveď (zrejme je to pre neho príliš triviálne), ale normálnych smrteľníkov ako my môže takáto úloha celkom potrápiť. Priznám sa, že som nad ňou uvažoval skoro pol hodiny a nepodarilo sa mi odvodiť všeobecný vzorček; niekedy to človeku skrátka nezapne. Ale Vy budete možno úspešnejší...

Agátkina teória čísel

Dnes som s dcérkou (4,5 r.) absolvoval nasledovný rozhovor.

Agátka: Ako sa volá najväčšie číslo?
Ja: Najväčšie číslo neexistuje.
Agátka: Ty tomu nerozumieš tata. Najväčšie číslo existuje.
Ja: Áno? A aké je veľké?
Agátka: Ako milión takýchto skríň popísaných číslami.
Ja: Hm. A čo ak by si toto číslo zvačšila o jedna?
Agátka: Tak by som predsa dostala najmenšie číslo.
Ja: Najmenšie číslo?
Agátka: Áno. Jednotku. Čísla musia byť do kruhu.
Ja. Aha. A ak by niekto mal toľko koruniek, koľko je to najvačšie číslo a ja by som mu dal ešte jednu korunku, tak by mal koľko koruniek? Jednu?
Agátka: Ale tata. Keby mal niekto toľko koruniek, tak by bol nimi úplne zasypaný a nemohol by si mu dať už žiadnu korunku...

Nedosiahnuteľné body

Vo vnútri kruhu máme zakreslený bod A. Na hranici tohto kruhu zvolíme bod B, spojíme ho s bodom A úsečkou a stredom úsečky AB budeme kolmo viesť tetivu t. Uvažujme množinu tých bodov kruhu, ktorými tetiva t určite nemôže prechádzať, nech by sme B zvolili kdekoľvek na hranici kruhu. Čo všetko vieme o tejto množine bodov povedať? 

Poznámka 3.2.: Úlohu už prakticky vyčerpávajúco vyriešil Peťo a to dokonca vo všeobecnej, mnohorozmernej verzii; viď jeho blog.