Banachov-Tarskeho paradox: časť 1: formulácia

Toto je prvý v sérii príspevkov, ktorými sa pokúsim ozrejmiť Banachov-Tarskeho paradox, ako som kedysi sľúbil. Čiastočne sa pritom budem držať knihy Leonarda Wapnera "The Pea and the Sun". Na začiatok úplne postačí, keď sa nám podarí pochopiť presné znenie tohoto paradoxu. Potrebujeme k tomu niekoľko matematických definícií na úrovni obtiažnosti nepresahujúcej prvý ročník na matfyze.

Nech Eⁿ je Euklidovský priestor, napríklad priamka (pre n=1), rovina (pre n=2), alebo klasický trojrozmerný priestor (pre n=3). Nech v je vektor v Eⁿ a nech U je matica rotácie typu nxn. Zobrazenie f, ktoré priradí každému bodu x v Eⁿ bod x+v, nazveme translácia (posun) a zobrazenie g, ktoré priradí každému bodu x v Eⁿ bod Ux nazveme rotácia (pootočenie). Ľahko si uvedomíme, že rotáciou v E¹ je len jediné zobrazenie a to identické. Každú rotáciu v E² si môžeme predstaviť ako pootočenie okolo bodu (0,0) a každú rotáciu v E³ si môžeme predstaviť ako pootočenie okolo nejakej priamky prechádzajúcej bodom (0,0,0).

Nech f je posun o vektor v, nech g je rotácia definovaná maticou rotácie U a nech M je nejaká množina v Eⁿ. Transláciou f množiny M nazveme množinu všetkých bodov tvaru x+v, kde x je bod z M a rotáciou množiny M nazveme množinu všetkých bodov tvaru Ux, kde x je bod z M. Ako príklad som na nasledovnom obrázku načrtol modrým transláciu f(M) zelenej množiny M o vektor (2,1) a ružovým rotáciu g(M) množiny M o uhol α=π/4 (t.j. o 45 stupňov).


Rozkladom množiny M nazývame každý systém M₁,...,M_k navzájom disjunktných podmnožín množiny M, ktorých zjednotenie je M. Dve množiny A a B v priestore Eⁿ nazveme zhodne rozložiteľné, ak existuje rozklad A₁,...,A_k množiny A a rozklad B₁,...,B_k množiny B tak, že pre každé i=1,...,k je množina B_i zrotovaná a posunutá množina A_i, t.j. existujú translácie f₁,...,f_k priestoru Eⁿ a rotácie g1,...,gn priestoru Eⁿ, že pre všetky i=1,...,n platí B_i=f(g(A_i)). To, že sú množiny A a B zhodne rozložiteľné, označíme A~B.

Čiže, veľmi voľne povedané, A~B znamená, že A je možné rozbiť na kúsky, z ktorých len posunutím a zrotovaním môžeme poskladať B. Ako príklad som načrtol obrázok dokazujúci A~B pre pravouhlý rovnoramenný trojuholník A (bez jednej odvesny) a štvorec B (bez jednej strany) s rovnakým obsahom ako má A.

Pripomeňme ešte, že pod pojmom guľa v E³ s polomerom r a stredom v bode P rozumieme množinu tých bodov E³, ktorých vzdialenosť od P je menšia, alebo rovná r.

Znenie Banachovho-Tarskeho paradoxu (vo formulácii nazývanej ''pea and the Sun''): Akékoľvek dve gule v E³, nie nutne s rovnakým polomerom, sú zhodne rozložiteľné.


Banachov-Tarskeho paradox je teda (dokázateľne platné) matematické tvrdenie že, voľne povedané, akúkoľvek malú trojrozmernú guľu vieme rozbiť na konečný počet podmnožín, z ktorých len pootočením a posunutím vieme poskladať (plnú) guľu s akokoľvek veľkým polomerom. Vaše prípadné nejasnosti a námietky napíšte do komentárov a ja sa Vám ich pokúsim vysvetliť resp. odmietnuť :)