Nasledovná úloha pripomína príklady pre stredné školy. Nebude problém vyriešiť ju úplne mechanicky. Alebo áno?Chlapec, dievča a pes vychádzajú zo spoločného bodu na rovnej ceste, pričom chlapec pôjde celý čas rýchlosťou 6 kilometrov za hodinu, dievča 4 kilometre za hodinu a pes bude kmitať medzi chlapcom a dievčaťom rýchlosťou 10 kilometrov za hodinu. (T.j. keď pes dobehne chlapca, tak sa okamžite otočí a bude bežať konštantnou rýchlosťou 10 km/hod k dievčaťu, keď dobehne k dievčaťu tak sa okamžite otočí a bude bežať konštantnou rýchlosťou 10 km/hod ku chlapcovi a tak ďalej.) Ako ďaleko od štartu sa bude nachádzať pes po jednej hodine?
Táto úloha je z už viackrát spomínanej knihy Martina Gardnera. Teším sa na Vaše riešenia.
10 komentárov:
Kto scitoval nekonecny rad? Priznajte sa... ja sa priznavam, ze mi to napadlo, ale potom som si spomenul na fintu, ktorou mozno prekonat Zenonov paradox Achilla a bolo to jednoduche. :-)
Podla mna to vyzera tak, ze nevieme povedat kde pes bude, resp. moze byt kdekolvek medzi CH a D.
Nech by sme totiz zvolili akukolvek konecnu poziciu psa medzi konecnou poziciou dievcata a chlapca, a prehrali celu situaciu odzadu, nakoniec vsetci skoncia vo
vychodzom bode.
Presne tak. Gardner o tomto probléme píše:
"This question stirred up a hornet's nest. Some mathematicians defended the answer as valid, others insisted the problem had no answer because it is logically contradictory. There is no way the three can start moving, because the instant they do the dog will be no longer be between the boy and the girl. This plunges us into deep waters off the coast of Zeno."
Jo, mne tiež nešlo do hlavy ako sa môže ten pes vôbec rozbehnúť. Úloha však bude košér keď predpokladáme že pes začal spolu s dievčaťom a chlapec mal malý náskok, povedzme epsilon.
Ako bude výsledok zaviseť od tohoto náskoku? [epsilon = 0 je teda iracionálna singularita].
Peter: Keď sa tam dá to epsilon, tak to už samozrejme má jednoznačné riešenie (bolo by skutočne zaujímavé to riešenie nájsť a výslednú funkciu zakresliť v závislosti od epsilonu; zrejme by pre epsilon->0 čím ďalej tým intenzívnejšie oscilovala medzi 4 a 6+epsilon).
Ale aj to pôvodné zadanie podľa mňa stojí za premyslenie. Nevieme síce, ako sa môžu "rozbehnúť", ale napriek tomu sa dá matematicky presne definovať funkcia (dokonca nekonečne veľa takých funkcií), ktorá popisuje polohu psa v každom t>=0. Pre mňa osobne je tá úloha stále trochu "intuitívne tajomná".
Rado: Hej, je to pekná záhada.
Inak som si to s tým epsilonom hodil na papier. Vychádza mi nasledovné:
Ak
epsilon = 4/[5(k - 5/2 + 7/2(5/7)^k)] pre lubovoľné k>=1, potom pes bude za 1 hodinu presne na mieste dievčaťa (teda 4km od začiatku) a pritom k chlapcovi zabehne presne k-krát.
Je to iný pohľad na vec ako ten čo si navrhol. Som zvedavý na graf (a analytický vzorec) toho tvojho nápadu, ak sa Ti bude chcieť ho vyprodukovať :-)
Podľa toho čo som práve napísal je zrejmé, že bude oscilovať pre epsilon blížiace sa k nule.
Peter: odvodiť analytický vzorec sa mi nechcelo, ale napísal som na to jednoduchý "simulačný" program. Závislosť polohy psa od náskoku chlapca epsilon sa zdá byť po častiach lineárna funkcia, ktorú si môžeš pozrieť na tomto obrázku.
Rado: Super!
Teším sa na ďalšie úlohy z Gardnerovej knižky a z tvojej hlavy :-)
co sa zamysliet nad starym dobrym sporom
nech ma ulaha riesenie a vysledok po 1h je x\in(4,6)
pouzime skalovanie a po 0.5h
je to "zjavne" 0.5x atd a sme v spore lebo nam vyjde, ze rychlost psa je 5
myslim, ze skalovanie je adekvatne, ak ide o nekonecny rad a neadekvatne ak ide o konecny, tj priklad s epsilonom
pardon rychlost psa je x
Zverejnenie komentára