Me3ce

Predstavme si, že vedľa seba kladieme farebné kamene. Monochromatická ekvidištantná trojica, skrátene me3ca, bude každá taká trojica kameňov rovnakej farby, pre ktorú platí: vzdialenosť prvého a druhého kameňa tejto trojice je rovnaká ako vzdialenosť druhého a tretieho kameňa tejto trojice. Na ilustračnom obrázku som znázornil sériu 10 kameňov dvoch farieb, ktorá obsahuje až 5 me3íc.

Ako sa môžete sami ľahko presvedčiť (napríklad otestovaním všetkých 512 možností na počítači), každá séria pozostávajúca z deväť kameňov dvoch farieb už nutne obsahuje nejakú me3cu. Osem kameňov dvoch farieb však me3cu obsahovať nemusí; všimnite si napríklad postupnosť 0X0XX0X0. Takže s dvomi farbami je otázka existencie bezme3cových sérií jednoduchá. Ukazuje sa však, že pre tri farby je to oveľa ťažšie:

Existuje také prirodzené číslo n, že každá séria n kameňov troch farieb obsahuje aspoň jednu me3cu?

Sám na túto zdanlivo jednoduchú otázku neviem odpovedať; môj polhodinový limit na jej vyriešenie nestačil. Preto sa opäť s dôverou obraciam na Vás. :-) Vzhľadom na to, že tento problém nie je triviálny, môžete do komentárov uvádzať nielen úplné riešenie, ale aj každý potenciálne užitočný postreh.

Poznámka 26.8.: Ako v komentári upozornil Nanyk, tento problém je zhodou okolností známy a veľmi ťažký a odpoveď je kladná pre ľubovoľný počet farieb a ľubovoľnú dĺžku ekvidištantnej série. Pre tri farby je maximálna bezme3cová séria dĺžky 26, napríklad

RRYYRRYBYBBRBRRYRYYBRBBYBY

a je dokázané, že každá séria dĺžky 27 už nejakú me3cu obsahuje.

A ak si chcete privyrobiť 1000 dolárov stačí, keď pre každé k ukážete, že pre niektoré n menšie než 2 na k² platí, že každá séria kameňov dvoch farieb dĺžky n už obsahuje nejakú ekvidištantnú monochromatickú k-ticu. Túto odmenu Vám udelí jeden z najvýznamnejších žijúcich matematikov, Ronald Graham.