kde λ je reálna konštanta. Čo všetko sa o nej dá povedať?
Po prvé si uvedomíme, že táto funkcia je dobre definovaná, pretože členy uvedeného nekonečného súčinu sú pre každé x od istého n v intervale (0,1), takže limita, ktorá určuje tento nekonečný súčin, existuje a je konečná. Tiež si hneď všimneme, že pre celé čísla x rôzne od nuly platí f(x)=0. Avšak prakticky akákoľvek ďalšia vlastnosť tejto funkcie je už netriviálna, ako naznačuje aj jej graf pre λ=1.5365:
Ak si niekto z Vás myslí, že je naozaj dobrý v matematickej analýze, môže sa pokúsiť zodpovedať napríklad nasledovné otázky:
- Je hodnota f(x) nenulová pre každé kladné neceločíselné x?
- Aká je množina tých hodnôt λ, pre ktoré je funkcia f ohraničená na celom R?
- Je derivácia tejto funkcie nenulová v každom bode x=2k, kde k je celé nezáporné číslo?
22 komentárov:
No, mám jednu ideu, zatiaľ k otázke 1. Mohlo by totiž platiť niečo takéto (ujo Taylor rád dokáže):
Ak 0 <= y <= 1, tak cos(y) >= 1 - y^2/2 >= e^(-y^2).
Potom sa pozrieme na "chvost" toho nekonečného súčinu kosínusov a povieme si, že prvých pár členov odignorujeme (tie sú nenulové, pokiaľ x nebolo celé číslo) a začneme sa zaoberať až toľkým členom, že Pi*x < (2N).
Potom podľa nerovnosti hore platí, že tento "chvost" sa dá zdola ohraničiť e^(-(Pi*x/2)^2 * S), kde S je suma [ 1/N^2 + 1/(N+1)^2 + ... ]. Táto suma sa dá zhora ohraničiť hodnotou zeta(2) = Pi^2/6. Takže ak som sa nesekol, ten chvost by nemal vedieť podbehnúť hodnotu e^(-(Pi^2*x/2)^2/6).
No a to stačí -- prvé členy sú nenulové (ak x nie je celé číslo), zvyšok súčinu tiež, no a ten násobiaci koeficient pred veľkým súčinom tiež nulový nebude...
Ale možno som sa niekde sekol :-)
Nechcel som to pisat, ale napadlo ma to hned ako som videl priklad - lebo ta jednotka sa mi zda jednoducha ( mozna ze som sa sekol niekde :) ), a tak som to chcel napisat ak sa mi podari vyriesit 2 alebo 3, ale ked uz goober napisal svoje :)
proste aby vysledok bol 0 tak musi aspon jeden cos rovny 0 - takze jeho argument musi byt ( ( 2k + 1) * Pi) / 2 -> a z toho podla mna rychlo dostaneme ze x musi byt celociselne -> alebo sa mylim?
Rori, problém je v tom nekonečnom súčine. Keby bol konečný, stačilo by argumentovať tak, ako si napísal.
Súčin nekonečne veľa čísel je ale premaskovaná limita -- a tak môže byť rovný nule aj pokiaľ sa žiadne z nich nule nerovná. Vezmi si napríklad súčin k=1 až nekonečno z hodnôt k/(k+1).
goober: super! Ja som tiež použil tú prvú nerovnosť a potom som pokračoval pomocou týchto formúl, ale Tvoja idea je krajšia; to s tým ohraničením exponenciálnou funkciou som si skrátka neuvedomil.
Takže ešte tie dve zvyšné otázky v priebehu 6 dní a máš u mňa Gowersa. Aspoň zistím kto si :)
Rori: goober má pravdu. Nekonečný súčin môže byť bez problémov nulový aj ak je každý súčiniteľ nenulový. Ak sa však súčinitele "dostatočne rýchlo" blížia k jednotke, tak ten nekonečný súčin môže byť aj nenulový a to je práve tento prípad.
Inak ďakujem za rady ohľadne kúpy foťáku. Už sme si kúpili Nikon D90 s objektívom 18-105. Je to parádna mašina. (Ešte sa tak naučiť fotiť :)
Dobre dobre, cervenam sa :) bol tam este jeden predpoklad ale uvedomil som si az po tom, ze neplati - uz je to fakt davno kedy som skoncil ten matfyz ( FMFI UK pre neskor narodenych :) )
K fotaku - nemam priame skusennosti s D90 ale mam o nej len dobre informacie :) Takze drzim palce :) Hratky s fotakom su jedna z najlepsich veci co poznam :)
Ja este planujem pokracovat vo "fotocykle" :) len prerabame izbu (malujeme, plavajuca podlaha, skrynky z ikei :) ) tak som rad ked idem spat :)
Hmm, ale predsa len ten moj predpoklad asi plati ...
Tu je to co si myslim (prosim opravit ma ak to neplati :) )
1. na to aby nekonecny sucin bol 0 tak bud aspon jedna hodnota sucinu je 0 alebo existuje nekonecna podmnozina ktora konverguje k 0
2. Z vlastnosti cosinusu - ked sa argument blizi k nule tak vysledok sa blizi k 1
3. V nasom pripade sa argument v postupnosti blizi k 0 pre konkretne x - takze cos sa tam blizi k 1 -> neexistuje postupnost konvergujuca k 0
Z toho mi vyplyva, ze musi platit to co som pisal v prvom prispevku ...
A teraz som zvedavy kde sa mylim :)
Mozna niekomu pomozem (ja diplom z Princetonu nepotrebujem :D :D :D ), ale mam pocit ze ta 3jka sa da vyriesit pomocou indukcie ( cez k) a informacie, ze plati 1ka...
Dnes asi velmi cas nebudem mat dotiahnut do konca, to co som si uz nacmaral asi na 10 papierov :) ale zda sa mi ze dostavam zmysluplne veci, len ich dotiahnut do konca
Rori: Mýliš sa v bode 1. Totiž na to, aby bol nekonečný súčin rovný nule, nemusí existovať podpostupnosť súčiniteľov konvergujúca k nule. Dokonca postupnosť súčiniteľov môže konvergovať k jednotke a aj tak je príslušný nekonečný súčin rovný nule. Zober si napríklad súčin, ktorý uviedol goober: (1/2)(2/3)(3/4)(4/5)...
Súčinitele sa blížia k jednotke, avšak súčin prvých k z nich je 1/(k+1), takže ich celkový (nekonečný) súčin je nula.
Nekonečný súčin je dosť zradná vec.
Rori: s tou indukciou môžeš mať kľudne pravdu (aby som sa priznal, ja som trojke veľmi veľa času neobetoval, hoci som si "experimentálne" všimol príslušný fenomén a zdal sa mi celkom zaujímavý). Inak 10 papierov za deň je teda dosť; to je väčšia spotreba ako má Agátka :)
Hehe = tak pokracujeme v cervenani sa :)
inak ten papier je polovica A4 (takze asi A5) - takze to az take hrozne snad nie je :)
Ale Rori; to nie je na žiadne červenanie sa. Vieš koľko chybných úvah som už ja verejne prezentoval? Čo sa týka blogov, tak napríklad som napísal zbrklú hlúposť v komentári k jednej úlohe od Michala. Alebo občas tresnem somarinu na našom katedrovom seminári. Skôr je dôležité si potom svoju chybu priznať.
Nóóó... zatiaľ som sa posunul o malý krôčik vpred v otázke 3 -- už som si úspešne dokázal, že v bodoch 2^k tá obluda mení znamienko. Ona dokonca meni znamienko práve v tých číslach, ktoré majú tvar 2^k * R^2, kde R je nepárne číslo a k je nezáporné.
Teraz už len uveriť, že tá vec je vôbec diferencovateľná :-)
Len taká zákerná otázka - ten obrázok vyzerá byť vyrobený pre inú hodnotu lambdy ako sa píše v texte -- mne to vychádza tak podobne pre niečo v rozsahu 2.40 - 2.41. Alebo mám zlé kreslidlo?
nenakreslil by mi plz niekto 3d graf s roznymi lambdami? :)
Zdá sa, že Kofola opäť raz pomohla :-)
Ak uveríme diferencovateľnosti, tak otázka 3 je pomerne jednoduchá. Malo by dokonca platiť všeobecnejšie tvrdenie, že pokiaľ N je kladné celé číslo a D je počet jeho nepárnych deliteľov, tak v bode N má oná potvora prvých (D-1) derivácií nulových a D-tu deriváciu nenulovú.
Rozpíšme si f(x) ako súčin c_1(x)*c_2(x)*...*c_D(x)*R(x), kde c_i(x) sú kosínusy z toho súčinu, zodpovedajúce jednotlivým nepárnym deliteľom N (v menovateli argumentu bude N/prislušný deliteľ) a R(x) je ten exponenciálny člen a zvyšok nekonečného súčinu.
Napríklad pre N=30 by to bolo rozpísané ako
c_1(x) = cos(x*Pi/(2*30))
c_2(x) = cos(x*Pi/(2*10))
c_3(x) = cos(x*Pi/(2*6))
c_4(x) = cos(x*Pi/(2*2))
pre N=7 zase takto:
c_1(x) = cos(x*Pi/(2*7))
c_2(x) = cos(x*Pi/(2*1))
no a pre N=16 to bude:
c_1(x) = cos(x*Pi/(2*16)).
No a teraz, poďme derivovať ten súčin, celkove T-krát (kde T < D), podľa pravidiel pre derivovanie súčinu. Dostaneme súčet súčinov, ktorých činitele budú c_1(x) až c_D(x) a R(x), v rôznom stupni zderivovania -- pričom súčet týchto stupňov je T. V každom z týchto súčinov je teda aspoň jeden nezderivovaný činiteľ typu c_i(x). No ale všetky také činitele sú pre x=N rovné nule, a tak je nule rovná celá T-ta derivácia.
Keď spravíme D-tu deriváciu, dostaneme niečo podobné, akurát sa tam bude vyskytovať aj D členov tvaru ｃ_1'(x)*c_2'(x)*...*c_D'(x)*R(x). Derivácie všetkých kosínusov sú sínusy a tie nenulové, R(x) obsahuje jeden exponenciálny výraz (=> nenulový) a nekonečný súčin kosínusov (ktorý už bol od nuly odrazený v dôkaze otázky 1). Takže táto derivácia bude pre zmenu nenulová.
Hopla... nie D členov, ale D faktoriál členov :-)
No a dajme si aj jeden odhad o otázke 2 :-)
Nech A je také číslo, že pre 0 <= x < A platí |cos(x)| <= e^(-x^2/2). Ujo Taylor nám povie, že A = Pi/2 by vyhovovalo. Numericky možno zistiť, že sa dá ísť ešte trochu ďalej -- asi tak po 1.77.
Teraz spravíme takýto horný odhad:
|f(x)| =
= e^(lambda*x) * PROD(n=1,infty,|cos(Pi*x/(2*n))|) <=
<= e^(lambda*x) * PROD(n=Pi*x/(2*A), infty, |cos(Pi*x/(2*n))|) <=
<= e^(lambda*x) * PROD(n=Pi*x/(2*A), infty, e^(-(Pi*x/(2*n))^2/2)) =
= e^(lambda*x - (Pi*x)^2/8 * SUM(n=Pi*x/(2*A), infty, 1/n^2)).
Ak som sa nesekol, malo by platiť, že SUM(n=T, infty, 1/n^2) >= 1/T. Potom sa celý exponent dá odhadnúť zhora ako
lambda*x - (Pi*x)^2/8 * SUM(n=Pi*x/(2*A), infty, 1/n^2) <=
<= lambda*x - (A*Pi/4)*x =
= x(lambda - A*Pi/4).
Ak som sa teda niekde pri písaní nekopol, pre lambda < cca 1.39 by sme mali mať dokázanú ohraničenosť na kladnej poloosi.
Samozrejme, to ešte nič nehovorí o (ne)ohraničenosti pre iné lambdy. Niektoré z tých nerovností sú dosť tesné, ale niektoré toho možno zanedbávajú až príliš...
goober: Prebehol som si tie Tvoje riešenia a vyzerajú OK. Druhú časť si síce vyriešil len čiastočne, ale aj tak je to pozoruhodný výkon. Si náš (súčasný, alebo bývalý) študent?
Gowersa Ti teda nedám (predsa len, tá druhá úloha je najťažšia a aj najzaujímavejšia), ale ak sa zastavíš u mňa v kanceláríí, tak Ti venujem Oxford Users' Guide to Mathematics :)
Nie je problem vygooglit si, kto je goober, napr.: http://www.gjh.sk/files/prednasky/2Kosinarb.pdf (dufam ze som teraz neprezradila nejake tajomstvo :D ). Ja mam taky zlozvyk, inych ludi sa zvyknem nieco pytat, az ked si to ani po niekolkych hodinach neviem najst na internete :).
Katka: Pekne! Keď som sa naposledy skúšal vygoogliť čisto podľa nickname, ešte tento link neexistoval a bolo treba preklikať viac než jednu stránku s výsledkami hľadania :-)
Rado: Prezradiš nám, že v akom príklade tá potvora vlastne vznikla?
Jeeej, ved goober robi v tej istej firme ako ja :) :) :) Svet je maly :)
Peťo: Á, takže Ty si goober :) No tak to všetko vysvetľuje. Pôvodnou motiváciou pre tú funkciu mi bola táto úloha:
Do jednotkového kruhu vpíšeš rovnostranný trojuholník, do neho opäť kruh, do toho kruhu štvorec, do toho štvorca kruh, do toho kruhu rovnostranný päťuholník a tak ďalej. Otázka je, či sa takto skonštruovaná postupnosť kruhov scvrkne do bodu, alebo sa blíži k nejakému kruhu s nenulovým polomerom.
Ten pôvodný problém bol tiež pekný :-) Ak som ho dobre pochopil, pýtame sa, či súčin cos(Pi/n) pre n=[3.. nekonečno], je kladný alebo nulový.
Nenulovosť sa dá dokázať pomerne jednoducho, napríklad aj pomocou dolného ohraničenia cos(y) >= e^(-y^2) [pre rozumne malé y]. Zaujímavá by mohla byť aj presná hodnota, ku ktorej tento súčin konverguje.
Jej explicitné vyjadrenie pomocou známych konštánt sa mi nepodarilo nájsť, ale zdá sa, že prvých pár desatinných miest vyzerá takto: 0.114942044853296200701040... Zaujímavá kuriozitka je, že sa dosť podobá na číslo 10/87 (aj keď je veľmi nepravdepodobné, že by sama bola racionálna).
Zverejnenie komentára