Osobnosti slovenskej matematiky: Lev Bukovský (pozvánka na prednášku)

(Po kliknutí na obrázok sa oznam zobrazí v plnom rozlíšení.)

Mnohí z nás si neuvedomujú, že viacerí slovenskí matematici sú medzinárodne uznávanými osobnosťami a ich výsledky sa stali v matematike pojmami. Rovnako ako národ by mal poznať svoju históriu, tak aj my, študenti matematiky a matematici ako takí, by sme mali poznať, čo svetu dala slovenská matematika.

Cyklus prednášok Osobnosti slovenskej matematiky je organizovaný študentmi Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave. Jej cieľom je priblížiť študentom ako aj odbornej verejnosti najväčšie prínosy slovenských matematikov. Každá prednáška je zameraná na dielo jednej osobnosti slovenskej matematiky, ktorá prednášku aj vedie. Dôvodom takej to formy je možnosť týchto ľudí spoznať aj osobne. Prednášky majú populárnu formu a sú koncipované tak, aby im porozumeli aj študenti a širšia odborná verejnosť.

Študenti Fakulty matematiky, fyziky a informatiky UK

Počítame semienka

To, čo je nasypané do sklenenej kocky na fotografii sú, predstavte si, sézamové semienka. Pokúste sa odhadnúť ich počet. (Kocka má hranu dĺžky približne 1 meter.)

Rozuzlenie 29.11.:

(Obrázok sa kliknutím zväčší.)

Väčšina z Vás tipovala niekoľkonásobne vyšší počet semienok, hoci rádovo správne. Zďaleka najlepšia sa však ukázala metóda odhadu počtu semienok na základe výšky Kofoly v pohári, ktorej aplikáciou vyšlo gooberovi 110 524 267.

Ja by som postupoval nasledovne: Zaplnená časť kocky semienok má rozmery zhruba 1000 × 1000 × 700 milimetrov. Aké veľké je sezamové semienko možno odhadnúť napríklad pomocou stránky "cells size and scale", ktorá je mimochodom zaujímavá aj sama o sebe. Sezamové semienko má nepravidelný tvar, ale podľa obrázka je jeho objem približne rovnaký, aký má guľôčka o polomere 1 milimeter. Guľôčky (a ani semienka) sa samozrejme nedajú naukladať tak, aby medzi nimi nebol žiadny voľný priestor; ich ideálne naukladanie necháva približne 25 percent priestoru voľného, takže odhadnime, že medzi semienkami je v skutočnosti voľného približne 28 percent objemu. Výsledkom je odhad 120 321 137. :-)

Ešte dodám, že fotografie pochádzajú z vedeckej exhibície Universum v Brémach.

Pomôžte Agátke s výzdobou

Moja dcérka Agátka dostala včera kolekciu 16 nálepiek, ktoré zodpovedajú symbolom 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, +, -, ×, /, = (v skutočnosti táto sada obsahuje aj kvietky s číslami, ale tie ignorujme). Pomôžte Agátke z týchto symbolov poskladať platnú rovnicu. Čím viac nálepiek v nej bude využitých, tým lepšie.

Napríklad rovnosť 8/4=2 je zostavená z 5 nálepiek, rovnosť 60/3=2×10 sa skladá z 8 nálepiek, ale možno (ehm) existujú aj rovnosti, ktoré používajú ešte viac týchto nálepiek...

Takáto úloha je síce trochu infantilná, ale 1. nájsť najlepšie riešenie nie je vôbec jednoduché a 2. vážnych úloh máme dosť na vyučovaní, nie? ;-)

29.11.: Ďakujeme za všetky návrhy! Agátka si vybrala a nalepila nasledovnú rovnicu:

Ako navigovať robota II

Predchádzajúca úloha sa ukázala byť celkom úspešná; viacerí z Vás našli pekné riešenia logickou úvahou a Rori dokonca našiel riešenie optimálne v tom zmysle, že je najkratšie možné. Pomocou peknej myšlienky Rori tiež vygeneroval množstvo "ťažkých" diagramov, ktoré som si trochu poprezeral a jeden z nich som modifikoval do nasledovnej podoby:

Tak ako v predchádzajúcej úlohe, cieľom je nájsť postupnosť príkazov M/C, ktorá dovedie robota do miestnosti A z akejkoľvek inej* miestnosti.


Kto nájde optimálne riešenie len v hlave, je génius. A kto nájde riešenie pomocou počítača, je schopný programátor. Možno keby som bol zamestnávateľ a chcel by som zistiť, či vie niekto naozaj programovať a algoritmicky myslieť (čo si dnes o sebe myslí skoro každý), tak by som mu dal počítač a požiadal ho, nech mi do hodiny povie riešenie tejto úlohy :-)

* Pôvodne som formuloval úlohu so slovom "inej" a takáto úloha je zmysluplná a tiež pomerne obtiažna, pričom ju vyriešil Nanyk (pozri komentáre). Pôvodný zámer bol však taký, že dané riešenie musí dostať robota do miestnosti A aj ak ten robot začína v priamo v A. Pri riešení tohto pôvodne zamýšľaného problému sa však možno dajú Nanykove myšlienky použiť ...

Ako navigovať robota I

Máme labyrint piatich miestností znázornený na ilustračnom obrázku. Medzi každými dvomi miestnosťami je práve jedna jednosmerná cesta, ktorá je buď modrá, alebo červená. V niektorej (neznámej) miestnosti tohto labyrintu je robot, ktorého síce nevidíme, ale môžeme mu posielať príkazy typu M (prejdi modrou cestou) a C (prejdi červenou cestou). Je možné vyslať robotovi takú postupnosť príkazov M/C, aby po jej vykonaní s istotou skončil v miestnosti A?

Tento príklad je motivovaný istou úlohou z knihy Ivan Moscovich: The Big Book of Brain Games.

Poznámka 3.11.: V komentároch ma upozornil misof na to, že táto úloha je príbuzná jednému otvorenému problému, ktorý súvisí s Československom. Tak som sa na to trochu pozrel a naozaj! Jedným z najznámejších otvorených problémov teórie konečných automatov je takzvaná Černého domnienka, ktorá vychádza z článku Jána Černého publikovaného priamo v slovenčine! Ako je možné, že to nepatrí ku "common knowledge" aspoň medzi slovenskými matematikmi?

Ak chcete o tomto probléme vedieť viac, tak si môžete prečítať tento pekný článok. Ale v zásade sa jedná o nasledovné: Predpokladajme, že máme podobný diagram ako v našej úlohe, pričom miestností je n a existuje nejaká pevná postupnosť príkazov, ktorá pošle robota do danej miestnosti z akejkoľvek inej miestnosti. Potom existuje aj postupnosť príkazov, ktorá toto spĺňa a jej dĺžka nepresahuje (n-1)². Černého diagram stupňa 5, v ktorom je najkratšie riešenie dĺžky 16, je znázornený na nasledovnom obrázku. (Viete to riešenie nájsť?)

Ako hrať proti telepatovi

Koncom minulého týždňa mi poslal peknú úlohu môj bývalý študent Lukáš Poláček. Ďakujem(e)! Pre náš blog ju formulujem nasledovne:

Hráči A a B budú hrať takúto hru: Obaja pošlú rozhodcovi obálku s lístkom, na ktorom je číslo od 1 po 16; je len na ich vlastnom rozhodnutí akým spôsobom toto číslo hráči zvolia. Po obdržaní oboch obálok ich rozhodca otvorí a ak sa budú čísla na lístkoch líšiť práve o 1, tak vyhráva hráč A, inak vyhráva hráč B. Problém je v tom, že hráč B je telepat a čokoľvek vie hráč A, vie ihneď aj hráč B. Hráč A sa preto rozhodol, že bude svoje číslo voliť nasledovne: Najprv si pripraví viacero lístkov, na ktoré napíše čísla v rozmedzí od 1 do 16. Z týchto lístkov potom náhodne vyberie jeden, bez pozretia ho vloží do obálky a pošle ho rozhodcovi. Poraďte hráčovi A koľko lístkov si má pripraviť a aké čísla má na ne napísať, aby maximalizoval svoju šancu na výhru.

(Pochopiteľne, ilustračný obrázok vľavo hore nemusí korešpondovať s najlepším riešením.)

Päť klubov

Predchádzajúcu úlohu sme zatiaľ vyriešili pre n ktoré je nanajvýš štyri a keďže všeobecné riešenie sa zdá byť pomerne komplikované, pokúsme sa rozlúsknuť aspoň špeciálny prípad n=5. Nasledovnú úlohu formulujem bez použitia pravdepodobnosti, len pomocou elementárnych pojmov.

V istom meste existuje päť klubov: literárny, golfový, šachový, rybársky a bowlingový. Tieto kluby majú spolu m členov, pričom každý z týchto klubov má presne m/2 členov (vieme, že m je párne, ale inak o m nevieme nič). Dvojice klubov pravidelne organizujú spoločné stretnutia, na ktoré pozvú všetkých tých ľudí, ktorí sú členmi súčasne oboch klubov. Napríklad býva stretnutie ľudí, ktorí sú súčasne členmi rybárskeho aj šachového klubu, býva tiež stretnutie ľudí, ktorí sú súčasne členmi literárneho aj bowlingového klubu a tak ďalej (spolu 10 druhov stretnutí). Každého z týchto stretnutí sa vždy zúčastnia všetci pozvaní hostia. Tvrdíme, že na niektoré stretnutie určite príde aspoň p percent z daných m ľudí. Aké je maximálne p, označme ho p₅, pre ktoré je toto tvrdenie zaručene pravdivé?

Z komentáru k predchádzajúcej úlohe vieme, že p₅ je aspoň 15% a nie je ťažké sa presvedčiť, že p₅ je najviac 25%. (Viete prečo?) Kto nájde hodnotu p₅ presne (a presvedčivo túto hodnotu zdôvodní), má u mňa čokoládu. Nie je to vôbec až také ľahké, ale ani nemožné.

Samé polovice

Nech n>=2 je prirodzené číslo. Nájdite najväčšie číslo p_n s nasledovnou vlastnosťou: Ak každá z udalostí A₁,...,A_n má pravdepodobnosť 1/2, potom existujú rôzne indexy i,j také, že pravdepodobnosť súčasného nastatia udalostí A_i a A_j je aspoň p_n.

Formulujme túto úlohu aj bez použitia pravdepodobnosti (hoci máličko menej všeobecne): Pre n>=2 nájdite najväčšie také číslo p_n, že ak zjednotenie n množín plochy 1/2 má plochu nanajvýš 1, tak plocha prieniku niektorej dvojice z týchto množín je aspoň p_n.

Je zrejmé, že p₂=0 a z ilustračného obrázku sa zdá, že p₃=1/6. Viete to dokázať? Viete nájsť hodnotu p_n pre niektoré (alebo aj všetky) čísla n>=4?

Poznámka 23.10.: Dnes ráno ma napadlo pomerne jednoduché trikové riešenie využívajúce niektoré základné poznatky z pravdepodobnosti. Hodnota p_n je prekvapivo jednoduchou funkciou počtu udalostí n, hoci výsledný vzorček je trochu odlišný pre párne a pre nepárne n.