Kedy sa obsah rovná dĺžke

Nasledovná úloha ma napadla keď sme dnes písali zovšeobecnenie nášho článku o generovaní náhodných bodov na mnohorozmerných sférach. 

Množinu M v rovine nazývame hviezdicovo konvexnou, ak v nej existuje "centrálny" bod O, z ktorého je "vidieť" všetky body množiny M, čiže ak pre každý bod A množiny M platí, že úsečka OA je celá v množine M. Pre jednoduchosť budeme uvažovať len tie hviezdicovo konvexné množiny, ktoré sú ohraničené, a pre ktoré je centrálnym bodom bod O=(0,0).

Výsekom hviezdicovej množiny M určeným bodmi X,Y ležiacimi na hranici M nazveme útvar ohraničený úsečkami OX, OY a krivkou, ktorá tvorí hranicu množiny M medzi bodmi X a Y. (Na tomto mieste a aj ďalej predpokladáme, že sa pohybujeme od bodu X k bodu Y po hranici množiny M v "smere hodinových ručičiek"). Na ilustračnom obrázku je množina M modrá a výsek určený bodmi X,Y je červený:

Všimnime si, že kruh v rovine so stredom v O a polomerom 2 má nasledovnú vlastnosť: obsah výseku určeného hraničnými bodmi X,Y je presne rovný vzdialenosti bodov X a Y po hraničnej kružnici.

Otázka znie: Existujú aj iné hviezdicovo konvexné množiny M s vlastnosťou, že obsah výseku množiny M určeného hraničnými bodmi X a Y je rovný vzdialenosti bodov X,Y po hranici množiny M?

Poznámka: Nedefinovali sme síce presne, čo je to hranica množiny M a čo je to vzdialenosť hraničných bodov X,Y "po hranici", ale tieto pojmy by mali byť intuitívne dostatočne jasné na pochopenia jadra zadania, bez rozptyľovania sa exaktnými, no komplikovanými formálnymi definíciami.


16.8.: Riešenie úlohy nám do komentárov napísal Ivan. Stručne, množín s danou vlastnosťou je nekonečne veľa, napríklad ak dotyčnice ku hranici, všade tam, kde jednoznačné dotyčnice existujú, sú priamky vo vzdialenosti 2 od bodu O. Taká je aj nasledovná "hviezda" :)

Pochopiteľne, existuje mnoho ďalších otázok, ktoré by sme sa mohli spýtať, napríklad: 1) Je každá množina s uvedenou vlastnosťou prienikom a zjednotením systému polrovín určených priamkami vzdialenými o 2 od bodu O? 2) Aké množiny "s oblými hranicami", t.j. nie polygóny, majú túto vlastnosť? 3) Aké je zovšeobecnenie tejto úlohy do viacrozmerného priestoru?

Nočná pyramída o pravdepodobnosti a logike

Zajtra (v sobotu 29.5.) o 22:30 budem spolu s profesorom Anatolijom Dvurečenskim hosťom relácie "Nočná pyramída" Slovenského rozhlasu. Takže ak máte čas, budem veľmi rád, keď si nás vypočujete.

Pred pár hodinami som dostal scenár a je skutočne zaujímavý. Základné témy sú "teória pravdepodobnosti", "vzťah medzi matematikou a logikou", "možné svety" a "náhoda a nutnosť". Trochu je problém v tom, že väčšina (predbežných) otázok má buď komplikované, alebo dosiaľ neznáme odpovede, prípadne na ne odpoveď asi vôbec ani neexistuje... Ale o to väčšia zábava bude na ne odpovedať, takže sa na to veľmi teším :)

30.5.: Kompletný záznam relácie vo formáte mp3 si môžete stiahnuť na tejto adrese. Veľmi rád Vám odpoviem na akékoľvek (ďalšie) otázky k téme.

Éter v štvorrozmernom priestore

Minulý týždeň som konečne odovzdal habilitačnú prácu, odoslal som náš najnovší článok a navyše sa skončilo vyučovanie, takže sa opäť s radosťou vraciam k môjmu blogu :) Mali sme tu už viaceré úlohy z geometrie v rovine aj v priestore. Čo by ste ale povedali na úlohu z geometrie v hyperpriestore?

Predstavme si dvojrozmerných obyvateľov povrchu sférickej planéty, ktorá rotuje okolo svojej osi v nehybnom éteri. Títo obyvatelia síce nevedia vnímať tretí rozmer, ale pohyb povrchu svojej planéty voči éteru odmerať vedia. To znamená, že na istej do seba uzavretej priamke (z nášho pohľadu na rovníku planéty) pozorujú najvyššiu rýchlosť pohybu éteru a v dvoch špeciálnych bodoch (z nášho pohľadu na póloch) pozorujú nulovú rýchlosť pohybu éteru.

Moja otázka znie: Ak by náš trojrozmerný vesmír bol povrchom štvorrozmernej gule rotujúcej v nehybnom štvorrozmernom éteri a vedeli by sme odmerať relatívnu rýchlosť tohto éteru voči nám, ako by sme vnímali oblasti najrýchlejšieho pohybu éteru (čiže akýsi švorrozmerný rovník) a ako by sme vnímali oblasti nulovej rýchlosti pohybu éteru (čiže štvorrozmerné póly)?

Ekvidištantné permutácie

  Nech σ=(σ₁,σ₂,...,σ_n) je permutácia čísiel 1,2,...,n. Ak v rovine postupne spojíme body (σ₁,σ₂), (σ₂,σ₃),...,(σ_n-1,σ_n), (σ_n,σ₁) a (σ₁,σ₂), dostaneme euklidovský graf, ktorý permutáciu σ plne charakterizuje. Na nasledovnom obrázku sú znázornené grafy permutácií (1,3,4,2) a (1,2,5,6,3,4).

Všimnite si, že grafy na obrázkoch majú jednu zaujímavú vlastnosť: rovnakú dĺžku všetkých hrán. Otázka znie:

Existuje permutácia čísiel 1,2,...,n, kde n>6, ktorej graf má všetky hrany rovnakej dĺžky?

Reťaze z mincí

Pri príležitosti dňa čísla π som pre Vás vymyslel nasledovnú úlohu (tento krát pomerne jednoduchú :).

Na obrázkoch sú dve reťaze vytvorené z mincí. Ktorá z nich má väčší vnútorný obvod?

Pod vnútorným obvodom myslíme dĺžku hranice "mláčky", ktorá by vznikla, ak by sme medzi mince naliali vodu (samozrejme za predpokladu, že by tá voda pomedzi mince nepretiekla). Teším sa na Vaše riešenia.

Poznámka 16.3.: Túto úlohu je možné vyriešiť matematicky; nejde o skúšku Vášho vizuálneho odhadu.

Pozoruhodná potvora

Matematické funkcie môžu mať veľmi komplikované vlastnosti, a to aj v prípade, keď sú definované jednoduchým predpisom. Včera mi pri riešení jedného príkladu vyskočila takáto pozoruhodná potvora:

 

kde λ je reálna konštanta. Čo všetko sa o nej dá povedať?

Po prvé si uvedomíme, že táto funkcia je dobre definovaná, pretože členy uvedeného nekonečného súčinu sú pre každé x od istého n v intervale (0,1), takže limita, ktorá určuje tento nekonečný súčin, existuje a je konečná. Tiež si hneď všimneme, že pre celé čísla x rôzne od nuly platí f(x)=0. Avšak prakticky akákoľvek ďalšia vlastnosť tejto funkcie je už netriviálna, ako naznačuje aj jej graf pre λ=1.5365:

Ak si niekto z Vás myslí, že je naozaj dobrý v matematickej analýze, môže sa pokúsiť zodpovedať napríklad nasledovné otázky:

• Je hodnota f(x) nenulová pre každé kladné neceločíselné x?
• Aká je množina tých hodnôt λ, pre ktoré je funkcia f ohraničená na celom R?
• Je derivácia tejto funkcie nenulová v každom bode x=2^k, kde k je celé nezáporné číslo?

A ak sa niekomu z Vás podarí zodpovedať na všetky tri tieto otázky do týždňa (samozrejme s rigoróznym dôkazom), tak mu darujem svoj The Princeton Companion to Mathematics, lebo tak bude pravdepodobne v lepších rukách ;-)

Timothyho úloha

V úvodnej časti knihy Princeton Companion to Mathematics uviedol Timothy Gowers ako príklad kombinatorickej úlohy nasledovné zadanie:

Koľko existuje nula-jednotkových matíc rozmeru n × n, ktoré majú v každom riadku aj v každom stĺpci maximálne dve jednotky?

Timothy sa neunúva dať na túto otázku odpoveď (zrejme je to pre neho príliš triviálne), ale normálnych smrteľníkov ako my môže takáto úloha celkom potrápiť. Priznám sa, že som nad ňou uvažoval skoro pol hodiny a nepodarilo sa mi odvodiť všeobecný vzorček; niekedy to človeku skrátka nezapne. Ale Vy budete možno úspešnejší...

Agátkina teória čísel

Dnes som s dcérkou (4,5 r.) absolvoval nasledovný rozhovor.

Agátka: Ako sa volá najväčšie číslo?
Ja: Najväčšie číslo neexistuje.
Agátka: Ty tomu nerozumieš tata. Najväčšie číslo existuje.
Ja: Áno? A aké je veľké?
Agátka: Ako milión takýchto skríň popísaných číslami.
Ja: Hm. A čo ak by si toto číslo zvačšila o jedna?
Agátka: Tak by som predsa dostala najmenšie číslo.
Ja: Najmenšie číslo?
Agátka: Áno. Jednotku. Čísla musia byť do kruhu.
Ja. Aha. A ak by niekto mal toľko koruniek, koľko je to najvačšie číslo a ja by som mu dal ešte jednu korunku, tak by mal koľko koruniek? Jednu?
Agátka: Ale tata. Keby mal niekto toľko koruniek, tak by bol nimi úplne zasypaný a nemohol by si mu dať už žiadnu korunku...