Štvorcovú servítku preložíme tak, aby zhyb prechádzal jej stredom, čím dostaneme nekonvexný deväťuholník (pozri obrázok). Aký je maximálny možný obsah tohto deväťuholníka?
Na večeri sme sa s kolegami o tomto probléme rozprávali a niektorí z nich bez dlhšieho premýšľania odhadli, že rigorózne riešenie je možné len pomocou nudných analytických metód hľadania extrémov funkcií. Nie je to však tak! Podarí sa niekomu z Vás nájsť "some beautiful solution"?
8 komentárov:
Prva moja myslienka je ze musime maximalizovat zakladne tych vycnievajucich trojuholnikov - lebo iba tie rozhoduju o velkosti (teda lepsie povedane o zmene velkosti) - lebo to co ukrojime z hornej polovice servitky pridavame v dolnej polovici servitky a tak su dolezite tie trojuholniky...
Je to len prvy nastrel - mozna niekomu pomoze - ja musim pracovat v praci :)
zle som napisal - ne zakladne ale obsahy maximalizovat
Akurat ma napadla jedna myslienka tak sa s nou tu zverim, nad dokazom budem rozmyslat neskor :)
Zoberme si lubovolny pripad zlozenia. Zoberem si druhu servitku a tu presne rovnako zlozim. Teraz viem tu druhu servitku prilozit k tej prvej tak aby sa neprekryvala ale vysledok vyzera ako keby boli dva prekryte stvorce pricom maju stred v rovnakom mieste. Kedze sa mame rovnake dva objekty neprekryvajuce sa (objekt = prelozena servitka) tak vysledny obsah je 2x obsah jedneho objektu -> musime najst take prekrytie dvoch sustrednych stvorcov s najvacsim obsahom a to pokial viem je ked su natocene o 22.5 stupna.
Kedze fakt ide o myslienku z cesty po kavu - tak dufam ze tam nie su nejake blbosti :)
Správne, jeden možný pohľad na problém je ten, že musíme nájsť v akom vzájomnom pootočení majú byť dva "sústredné" štvorce, aby sme maximalizovali obsah ich zjednotenia, čo je istý nekonvexný šestnásťuholník.
Intuícia hovorí, že by to pootočenie malo byť také, aby výsledný šestnásťuholník mal všetky strany rovnaké, čiže aby tvoril symetrickú osemcípu hviezdu. Ale je to tak? Ak áno, ako by to bolo možné precízne dokázať pomocou stredoškolskej matematiky?
obsah zjednotenia tych stvorcov je maximalny ak obsah ich prieniku je minimalny. ich prienik je taky osem-uholnik, ktoreho obsah sa najlepsie spocita, ak si donho vpiseme kruznicu s polomerom r (teda strana stvorca je 2r) a prideme na to, ze ten obsah je 4r^2(tg(x/2)+tg(pi/4-x/2)), kde x je uhol otocenia a teraz staci uz iba trochu derivovat, ja som to uz mal na strednej, ale neviem ako je to teraz :)
Keby sme chceli ísť Braňovou cestou a nechceli derivácie, dá sa použiť substitúcia x = Pi/4 - y pre y medzi 0 a Pi/4. Potom sa použijú súčtové vzorčeky pre tangens a po hodení na spoločného menovateľa dostaneme výraz, v ktorom čitateľ s y rastie a menovateľ klesá (a zostáva nezáporný). Minimum je teda v y = 0, čiže x = Pi/4.
Brano, goober: Samozrejme je to spravny postup, ale existuje aj riesenie, ktore nevyuziva derivacie, dokonca ani goniometricke funckie, len zakladnu geometriu a algebru...
No, jedna negoniometrická úvaha by mohla vyzerať takto:
Prienik Roriho prekrytých štvorcov je osemuholník a ich zjednotenie obsahuje navyše osem vzájomne zhodných trojuholníčkov. Namiesto maximalizovania obsahu hviezdy stačí preto maximalizovať obsah jedného trojuholníčka. Keď si poriadne pozrieme stranu jedného z tých prekrývajúcich sa štvorcov, zistíme, že pozostáva z troch častí a tie sú presne také dlhé, ako odvesny a prepona trojuholníčka. Inak povedané, trojuholníčky majú predurčený obvod.
Teraz stačí zistiť, že ktorý pravouhlý trojuholník s daným obvodom má najväčší obsah. Na to nám odpovie napríklad Tálesova kružnica -- keď zafixujeme preponu, maximálny obsah sa dosiahne v prípade rovnoramenného trojuholníka (keďže má najväčšiu výšku).
No a nakoľko je rovnoramenný trojuholník je v pôvodnom zadaní aj prípustný, je to optimálne riešenie.
Zverejnenie komentára