Prekvapivo, úloha, ktorú v mojom sne dali študenti profesorovi, je zmysluplná a dosť odlišná od všetkých úloh, nad ktorými som dosiaľ uvažoval v bdelom stave. Fungovanie ľudského mozgu ma neprestáva fascinovať. Tu je spomínaná úloha:
Nech M je množina bodov v rovine a nech x je vektor. Posunutím množiny M o vektor x budeme rozumieť množinu M+x pozostávajúcu z bodov tvaru B+x, kde B patrí M. Racionálnym bodom v rovine nazveme taký bod, ktorého obidve súradnice sú racionálne čísla. Dokážte, že ak M je zjednotením konečného počtu úsečiek, potom existuje vektor x taký, že M+x neobsahuje žiadne racionálne body.
7 komentárov:
Možno by nám pomohlo translačne invariantné a spočítateľne aditívne meradlo francúzskej výroby, pre ktoré sú čiary zanedbateľné? :-)
goober: Verím tomu, že vynález pána L. by pomohol, ale existuje aj jednoduchšie a pomerne stručné riešenie, na ktoré stačí prvácka teória množín :)
Ale nóóóó... ako sa teraz musí cítiť chudák známy slovenský profesor matematiky, ktorý úlohu vo sne vyriešiť nevedel? :-)
Práve preto som ho nemenoval; mohol by sa uraziť, že sa mi to o ňom mohlo čo i len snívať... :)
Jeeeej :) Super sen. Pre mna bolo klucove uvedomit si, ze niektore cisla nam dokazu ...hmmm.. rozsirit horizonty vnimania a ze je ich dost vela:)
Ak sa nemylim, tak by sa uloha dala zovseobecnit pre spocitatelne vela nadrovin v konecne-rozmenom priestore a stale by sa dala pouzit prvacka teoria mnozin :)
Mozno by sa to dalo dokazat takto.
Predpokladajme, ze kazdy posun (dx, dy) mnoziny M obsahuje racionalne body (v zmysle definicie ulohy). Urobme najprv posun o dx a uvazujme x-ove suradnice bodov. Niektore su iracionalne a taketo body su vyriesene, ostatne su racionalne. Usecky, ktore nie su vertikalne orientovane musia obsahovat najviac spocitatelne mnozstvo takychto bodov, lebo existuje bijekcia medzi bodmi usecky a intervalom na osi x, na ktorom sa nachadzaju ich x-ove suradnice (a racionalnych cisiel na intervale je spocitatelne vela). V pripade vertikalnych useciek uvazujeme len take dx, ktore posunie vsetky vertikalne usecky na iracionalnu x-ovu suradnicu (Tvrdenie 1 nizsie).
Nech teraz urobime posun o akekolvek dy, tak (podla predpokladu) y-ova suradnica aspon jedneho z tychto bodov bude racionalna, t.j
Pre vsetky dy z R existuje take y zo spocitatelnej mnoziny, ze
y + dy = q, q je z Q
Ale potom kazde realne cislo dy sa da napisat ako
dy = q - y
To by ale znamenalo, ze aj realnych cisiel je spocitatelne vela. To je kontradikcia, takze predpoklad neexistencie vhodneho posunu je nespravny.
Tvrdenie 1. Pre kazdu konecnu mnozinu realnych cisiel z_1, ..., z_n existuje realne cislo u take, ze z_k + u je iracionalne pre vsetky k = 1,.., n.
Dokaz je podobny ako vyssie. Ak by take u neexistovalo tak kazde realne cislo u by sa dalo vyjadrit ako
u = q - z_k, pre niektore q z Q a niektore k z {1, ..., n}
Takze by muselo byt spocitatelne vela realnych cisiel.
Zverejnenie komentára