Charles Darwin: citát

"If we were intentionally to neglect the weak and helpless, it could only be for a contingent benefit, with an overwhelming present evil." (Charles Darwin, The descent of man.)

Poznámka: Práve pre tých ľudí, ktorí sa sami pasujú do úlohy najvyšších ochrancov morálky, je príznačné, že na dosiahnutie svojich fanatických cieľov neváhajú bezcharakterne manipulovať verejnou mienkou prekrúcaním faktov a vedomým vytrhávaním tvrdení z kontextu. Je hrubým zavádzaním vykresľovať Darwina ako proponenta eugentiky a ideologický zdroj nacistickej propagandy. Naviac, je úplne absurdné snažiť sa vyvracať pravdivosť vedeckej teórie na základe jej "morálnej" diskreditácie.

Podávanie rúk

Na narodeniny som dostal veľmi peknú knižku: "The Colossal Book of Short Puzzles and Problems" od Martina Gardnera. Ešte o sa o nej v budúcnosti určite zmienim; pre dnešok som z nej pre Vás vybral nasledovnú úlohu:

Moja manželka a ja sme sa prednedávnom zúčastnili stretnutia, na ktorom boli okrem nás dvoch ešte štyri ďalšie manželské páry. Po príchode na stretnutie si ľudia rôznym spôsobom popodávali ruky. Nikto si nepodal ruku s jedným človekom viac ako raz, tiež si nikto nepodal ruku so svojim partnerom a samozrejme ani sám so sebou. Po tom, čo sa uskutočnili všetky podatia ruky, som sa prechádzal medzi zúčastnenými a každého z nich som sa opýtal s koľkými ľuďmi si podal ruku. Na moje prekvapenie, od každého som dostal rôznu odpoveď (a predpokladáme, že pravdivú). S koľkými ľuďmi si podala ruku moja manželka?

Richard Wiseman: Quirkology

Pokúste sa odpovedať na nasledovné otázky:

Sú poslucháči rádia schopní s väčšou pravdepodobnosťou odhaliť klamstvo než tí, ktorí ten istý preslov nielen počujú, ale aj vidia v televízii? Je pravdou, že strašidelné pocity v niektorých budovách majú reálny základ merateľný prístrojmi? Je Dublin "rýchlejšie" mesto ako New York? Sú ľudia narodení v lete subjektívne šťastnejší ako tí, ktorí sa narodili v zime? Sú ženy-šoférky silných áut najčastejšou skupinou vodičov, ktorí parkujú na zakázaných miestach? Spomedzi všetkých krajín v súťaži o najlepší vtip sveta, boli to Nemci, kto dával vtipom najvyššie priemerné hodnotenia? Je pre väčšinu ľudí príjemnejšie obliecť si sveter pošpinený od psích výkalov, než čistý sveter vraha?

To sú len niektoré z mnohých trochu uletených otázok, na ktoré sa v knihe Quirkology dozviete odpoveď podloženú rozsiahlymi dátovými súbormi, premyslenými experimentmi a dlhodobými pozorovaniami profesora psychológie Richarda Wisemana a jeho kolegov. Kniha Quirkology je písaná ľahkým a humorným štýlom, no s veľmi vážnym posolstvom. Väčšina z nás je náchylná na psychologické omyly, povery, predsudky a nekritické hodnotenie (predovšetkým svojich schopností) a to oveľa viac, ako sme ochotní pripustiť. Neveríte? Odpovede na všetky otázky vyššie sú, aspoň podľa profesora Wisemana, "áno".

Poznámka: Aj túto knihu Vám môžem požičať, avšak samozrejme len ak je voľná.

Komplexné korene polynómov

Popis obrázka: Podľa takzvanej "základnej vety algebry" má každý polynóm stupňa n≥1 práve n komplexných koreňov (z ktorých niektoré môžu byť viacnásobné). Na obrázku je znázornená množina komplexných koreňov polynómov tvaru a₀+a₁z+a₂z²+...+a_nzⁿ, kde n=30 a koeficienty a_i sú buď +1, alebo -1. (Aby som sa priznal, inšpiráciou pre tento obrázok mi bola veľmi podobná ilustrácia, ktorá visí na chodbe v Cardiff School of Mathematics :-)

Súťaž o najkrajší algebraický povrch

Poznámka 1.5.: Je mi to veľmi ľúto, ale do mojej súťaže sa za celý mesiac nikto nezapojil. Je mi jasné, že vhodných nadšencov je pomerne málo a ešte sa k tomu môžu pridať technické problémy s inštaláciou Surfera. Ale aj tak som dúfal, že zo stoviek ľudí, ktorí môj blog každý mesiac čítajú, sa aspoň dvaja-traja účastníci nájdu. No, nevadí. Vyhlásiť takúto súťaž asi bolo odo mňa dosť naivné. Nasleduje pôvodný text príspevku:

Vyhlasujem súťaž o najkrajší algebraický povrch vytvorený pomocou programu Surfer!

Do konca apríla mi môžete na moju e-mailovú adresu zasielať obrázky algebraických povrchov. Najkrajší z nich bude zvolený hlasovaním na blogu QED a víťaz získa hodnotnú cenu: úplne novú knihu "Magic Universe - The Oxford Guide to Modern Science".

Ďalšie podrobnosti: Každý z Vás môže poslať maximálne 5 návrhov. Spolu s jpg obrázkom vytvoreným Surferom mi pošlite aj predpis polynómu, ktorý daný povrch generuje a tiež meno Vašeho diela (môže byť ľubovoľne poetické :-). Zo všetkých zozbieraných návrhov vyberiem 10, ktoré zverejním tu na blogu QED. Z nich potom prostredníctvom ankety vyberiete Vy ten najkrajší, ktorého autor získa spomínanú knihu (musí si po ňu prísť ku mne na matfyz).

Uvedomujem si, že takáto forma súťaže sa dá ľahko zneužiť, avšak predpokladám, že medzi záujemcami o matematicko-umeleckú súťaž sa žiadny podvodníci nevyskytnú. Napríklad, na internete sa dá nájsť pomerne veľa špeciálnych predpisov definujúcich pekné algebraické povrchy. Samozrejme, že ich nebudete kopírovať; je to niečo podobné ako poslať do maliarskej súťaže plagiát cudzieho diela.

Poznámka 5.4.: Objavil som podobnú súťaž s programom Surfer, ktorú zorganizoval časpis Zeit. To však nebráni uskutočniť takúto minisúťaž aj nám. Inak povedal by som, že je v našich možnostiach vyprodukovať obrázky, ktoré po estetickej stránke za tými v Zeite nezaostávajú.

Surf algebraic surfaces

Pod termínom algebraický povrch sa obvykle rozumie varieta dimenzie 2 pozostávajúca z tých bodov (x,y,z), ktoré spĺňajú rovnicu f(x,y,z)=0 pre nejaký polynóm f. Napríklad ak je f(x,y,z)=x²+y²+z²-1, tak príslušný algebraický povrch je sféra a ak je f(x,y,z)=(x²+y²+z²+2)²-10*(x²+y²), tak je to tórus. Avšak špeciálnou voľbou polynómov f vieme dostať nekonečnú plejádu oveľa exotickejších obyvateľov Platonického sveta matematických objektov, napríklad:


S programom Surfer, vytvorenom na Mathematischen Forschungsinstituts Oberwolfach v Nemecku, si zobrazovanie algebraických povrchov zamilujete.

Virtuálny Da Vinciho kód

Určite ste si aj vy už mnohokrát vypočuli nasledovnú otázku: "Ako je možné, že taká v podstate priemerná kniha ako Da Vinciho kód sa stala jedným z najväčších bestsellerov všetkých čias?" Dôvodov je samozrejme veľmi veľa: niektorí ich vidia v reklame, ďalší v kontroverznej téme a niektorí v napínavom deji. Avšak masívnu reklamu, kontroverznú tému (niektoré dokonca presne tú istú) a napínavý dej malo aj veľa iných titulov, no napriek tomu sa žiadnemu z nich nepodarilo dosiahnuť takú predajnosť. Matematik má nasledovné vysvetlenie: "Success breeds success", a.k.a. Matúšov efekt.

Predstavme si nasledovný hypotetický model predaja kníh vo virtuálnom kníhkupectve: Uvažujme, že kníhkupectvo predáva K titulov, ktoré sa nijako nelíšia svojou kvalitou. Každý z N zákazníkov, ktorý sa zastaví v našom kníhkupectve, si kúpi jednu knihu. Na základe čoho si náš zákazník vyberie knihu, keď sú všetky rovnako dobré? Tu svoju úlohu zohráva samozrejme náhoda ale taktiež popularita jednotlivých titulov vyjadrená objemom doterajšieho predaja.

Predpokladajme teda, že prvý zákazník si vyberie svoju knihu úplne náhodne a každý ďalší si kúpi knihu k s pravdepodobnosťou

kde i je poradie zákazníka (i=2,...,N), h_k,i znamená koľko kusov knihy k sa dosiaľ predalo a α je index, ktorý vyjadruje do akej miery je predajnosť ovplyvnená popularitou.

Napríklad ak α=0, tak počet predaných výtlačkov jednotlivých titulov nemá žiadny vplyv na pravdepodobnosť výberu novej zakúpenej knihy, t.j. každý zákazník si vyberie tú svoju knihu úplne nezávisle na tom, čo si vybrali zákazníci pred ním. Opačný extrém je α=1; v tomto prípade si zákazníci vyberajú tituly s pravdepodobnosťou priamo úmernou počtu dosiaľ predaných kusov jednotlivých titulov. Prípad α=0,5 zodpovedá zhruba nasledovnému správaniu sa zákazníkov: každý si hodí mincou; ak mu padne hlava, vyberie si jednu knihu úplne nezávisle na tom, ako sa jednotlivé tituly predávajú a ak mu padne znak, rozhodnuje sa medzi titulmi úplne na základe ich doterajšej predávanosti.

Nebudeme sa snažiť o (pomerne komplikovaný) výpočet teoretických charakteristík tohoto modelu. Dostatočnú predstavu o jeho správaní nám môže poskytnúť simulácia. Naprogramoval som si krátky programík v R-ku a spustil som ho s počtom kníh K=1000 a počtom nákupov N=milión postupne pre hodnoty α=0,1; 0,5 a 0,9. Výsledky sú znázornené na nasledovnom obrázku:


(Všimnite si, že zvislá os, ktorá vyjadruje počet predaných kusov jednotlivých titulov, je v logaritmickej škále!) V prípade α=0,1 a taktiež ešte aj v prípade α=0,5 sa počet predaných výtlačkov každého titulu pohybuje okolo 1000 kusov. Čo sa však stane v prípade, keď α=0,9, t.j. ak pri rozhodovaní zákazníkov výrazne dominuje popularita jednotlivých titulov? Jeden šťastný titul, svojou kvalitou úplne rovnaký ako 999 zvyšných titulov, sa v našej simulácii predal v počte presahujúcom 200000 kusov! Je to náš virtuálny Da Vinciho kód.

Poznámka: Samozrejme, že náš model je veľmi zjednodušený. Podľa môjho názoru je však užitočnejší zjednodušený a v mnohom nerealistický exaktný matematický model výskytu "čiernych labutí", než žiadny model.

Nassim Nicholas Taleb: Black Swan

Keď odstránime z knihy Nassima Taleba "Black Swan" autobiografické spomienky neuznaného génia a výsmech nositeľov Nobelovej ceny písaný žlčou zraneného ega, zostanú nám už len nasledovné, nie nutne disjunktné skupiny myšlienok: banálne, mylné, arogantné a staré.

Ústrednou banálnou a starou myšlienkou je kritika, že v ekonomických a spoločenských vedách sa venuje veľa pozornosti metódam "Mediocristanu" (rozumej modelom založeným na normálnom rozdelení) a príliš málo "Extremistanskej" skutočnosti (občasným neočakávaným náhodným prípadom s ohromným dopadom, takzvaným "čiernym labutiam"). Na túto kritiku nadväzuje mylná a arogantná myšlienka, že všetci súčasní vedci, pochopiteľne s výnimkou samotného autora a ešte Mandelbrota, sú zaslepení hlupáci, ktorí si nespoľahlivosť súčasných finančno-matematických modelov neuvedomujú, alebo ju zo všetkých síl popierajú.

Samozrejme, čitateľ očakáva, že po zdrvujúcej kritike Taleb vytiahne z rukáva nejaký úžasný návrh, ktorým strčí modernú finančnú matematiku do vrecka. Omyl. Vyústením knihy je len veľmi vágne popísaný desiatky rokov starý návrh používať rozdelenia s ťažkými chvostami, napríklad tzv. "power laws". V knihe nie je skoro nič konštruktívne, čo by bolo súčasne originálne; iba narážky, z ktorých po dvadsiatom zopakovaní vyprchá akýkoľvek humor a zostane len pachuť trápnosti.

Táto kniha je pre mňa zaujímavá len ako podnet na zamyslenie, ako je možné, že sa niečo podobné stane bestsellerom. Ak sa zaujímate o rolu náhody v oblasti financií, tak Vám odporúčam prečítať si radšej síce taktiež nie veľmi originálnu, no ešte nenásilne a pomerne kultivovane písanú knihu "Fooled by Randomness" od toho istého autora.

Poznámka: Sám síce nie som expert na finančnú matematiku (na matfyze sú na to iné kapacity), ale do základných metód pravdepodobnosti a štatistiky sa rozumiem, aj keď len ako deluded Platonic sucker from Mediocristan, who speaks in a boring tone, relies on abstract mathematics and scientific papers instead of practice, while being precisely wrong. Možno Vás však moje názory aj tak budú zaujímať. V tom prípade sa ma neváhajte na čokoľvek opýtať.