Ťažisko rezu

Metóda "alias" používaná na simulačné generovanie diskrétnych náhodných premenných sa opiera o vetu, ktorej špeciálny prípad je možné pekne geometricky interpretovať:

Akýkoľvek bod C vo vnútri štvorstena je ťažiskom nejakého trojuholníka, ktorého vrcholy ležia na hranách tohto štvorstena.

Vedeli by ste túto vetu dokázať? Napadajú Vás nejaké zovšeobecnenia tejto vety?

(Ospravedlňujem sa všetkým riešiteľom, ktorí sa trápili s pôvodnou nesprávnou formuláciou vety.)

Tri sochy

Kto nám do komentárov ako prvý napíše správne riešenie nasledovnej úlohy, dostane odo mňa knihu "Professor Stewart's Cabinet of Mathematical Curiosities" od Iana Stewarta (to aby som Vás motivoval túto úlohu aspoň dočítať do konca). Zadanie pochádza od Braňa Novotného (ďakujeme) a sponzorom tejto súťaže je, hoci o tom nevie, Thomas Klein (tiež ďakujeme; keď ma bol navštíviť, doniesol mi knižku, ktorú už vlastním :).

  Na ceste za pokladom je chrám, z ktorého vedú dve cesty - vľavo a vpravo. Jedna vedie k pokladu a jedna do záhuby. V chráme sú tri sochy. Jedna vždy hovorí pravdu, jedna vždy klame (hovorí nepravdu - tj. nesnaží sa zavádzať), a jedna odpovedá náhodne.

  O sochy sa starajú dvojičky, ktoré môžu položiť sochám dve otázky denne, vždy sa musí pýtať práve jeden z nich práve jednej sochy a tá odpovie podľa svojej prirodzenosti, ale keďže sú to iba sochy, tak zvládnu iba A a O, jedno znamená áno, druhé nie. Sochy majú dosť informácií: tj. rozoznajú bratov, vedia ktoré dvere sú správne, majú rozumný prehľad o svojom okolí a ak sa ich niekto spýta otázku, na ktorú nevedia korektne odpovedať A, alebo O, tak odpovedia náhodne.

  Hľadačovi pokladu vysvetlia bratia pravidlá a za dostatočnú odmenu sú ochotní spýtať sa sôch dve pútnikove otázky a to tak, že (hľadačom) vybraný brat otázku presne zopakuje vybranej soche a vypočuje si odpoveď a tú povie hľadačovi, lenže starší brat odpoveď vždy zmení na opačnú. Samozrejme bratia neprezradia ktorý z nich je starší, ktoré z A a O je áno a ktoré nie a sochu, ktorej sa budú pýtať, môže hľadač určiť iba ako vľavo, vpravo a v strede.

Aké dve otázky sa má hľadač spýtať, aby sa dozvedel ktorá cesta vedie k pokladu?

Šesť ostrovanov

  Pred pár dňami som si konečne našiel čas na moju novú knižku Satan, Cantor a nekonečno od Raymonda Smullyana. Veľmi Vám ju odporúčam, ak sa Vám zdá, že Váš mozgový sval chátra. (Pripúšťam, že takéto pocity sú na matfyze počas skúškového obdobia dosť zriedkavé.) Ako veľmi ľahkú rozcvičku na príklady v knižke som pre Vás poprivymyslel túto úlohu:

  Minule som bol na dovolenke na ostrove s veľmi zvláštnymi obyvateľmi. Delia sa na pravdovravných, ktorí hovoria vždy len pravdu, a klamárov, ktorí výlučne klamú. Všetci ostrovania o sebe vedia, kto z nich je pravdovravný a kto z nich je klamár, takže medzi sebou si celkom dobre rozumejú. No cudzinca, ako som ja, dokážu riadne pomýliť.
  Na prechádzke týmto ostrovom som stretol skupinku šiestich ostrovanov, očividne dobrých priateľov. Náhodne som si vybral jedného z nich a dal som sa s ním do reči. Počas rozhovoru vyslovil o svojich priateľoch v skupinke nasledovné tri vety: Priateľ s klobúkom a tmavomodrými nohavicami je klamár. Priateľ v tmavohnedých nohaviciach je klamár. Priateľ v tmavosivých nohaviciach je klamár.
  Poďakoval som mu za rozhovor a dal som sa do reči s jediným spomedzi týchto šiestich ostrovanov, ktorý mal klobúk. Tento ostrovan sa tiež rozhovoril o svojich piatich priateľoch a postupne vyslovil tieto tri vety: Priateľ vo svetlooranžovej košeli je klamár. Priateľ vo svetložltej košeli je klamár. Priateľ vo svetloružovej košeli je klamár.
  Bohužiaľ, keďže som farboslepý, veľa som sa od týchto dvoch ostrovanov nedozvedel. Viem určiť aspoň to, koľko je v tejto skupinke ostrovanov klamárov?

Tanec molekúl

Keď som na Akadémii Trojstenu spomínal súvis Gaussovej krivky a objemov rezov mnohorozmerných kociek, napadlo ma, že by som rád vedel ako asi vyzerá "typická" množina ich vrcholov v dvojrozmernej projekcii. Včera večer som si teda v rámci oddychu napísal jednoduchý program, ktorý zobrazuje dvojrozmerné súradnice vrcholov pomaly rotujúcej mnohorozmernej kocky s farbami určenými súradnicami v ďalších troch rozmeroch.

Najprv som si myslel, že pre Vás vyrobím pomocou môjho programíku video, ale to by bolo nutne krátke. Rozhodol som sa preto dať Vám k dispozícii priamo zdrojový kód programu; stačí, keď si ho prekopírujete do R-ka a spustíte. Takto sa s ním môžete zabávať, vylepšiť ho podľa vlastných predstáv.

Prednáška na Akadémii Trojstenu

Ďakujem všetkým, ktorí ste sa zúčastnili mojej prednášky na Akadémii Trojstenu! Slidy k mojej tohtoročnej prednáške nájdete tu a slidy k mojej prednáške v roku 2007 nájdete tu. Boužiaľ, z prednášky nie je záznam a slidy sú len veľmi stručným náznakom toho o čom som rozprával, ale nevadí. Ak máte akékoľvek otázky, rád Vám na ne odpoviem.

Pôvodný text: Tento piatok (10.12.2010) bude na našej fakulte Akadémia Trojstenu; program si môžete pozrieť tu. Ak ste si klikli na odkaz, asi ste si všimli, že jednu prednášku mám ja. Trochu ma mrzí, že paralelne bude mať veľmi atraktívnu prezentáciu misof, pretože tú som si chcel pozrieť aj ja a to mi asi teraz nedovolia :). Predpokladám tiež, že o moju prednášku o Gaussovej krivke až taký veľký záujem nebude, takže ak ste sa aj na toto podujatie neregistrovali, ku mne do B-čka sa o 11:15 určite zmestíte...

Náhodný rez kocky

Zvolíme náhodne rovinu prechádzajúcu ťažiskom kocky ABCDEFGH.  S akou pravdepodobnosťou bude rez kocky ABCDEFGH touto rovinou šesťuholník?

Predpokladáme, že rovinu zo zadania volíme "rovnomerne" náhodne, čiže všetky orientácie tejto roviny sú rovnako pravdepodobné, alebo ešte presnejšie: jednotkový normálový vektor tejto roviny má rovnomerné rozdelenie na povrchu jednotkovej gule.

Poznámka 4.12.: Vídím, že táto úloha nikoho nezaujala, avšak ja osobne mám celkom radosť, že ma napadla. Na prvý pohľad sa totiž zdá ťažká, no v skutočnosti sa dá pomocou istých trikov z teórie pravdepodobnosti vyriešiť na niekoľko riadkov.

Tri trojuholníky

Problémy optimálneho navrhovania experimentov, čo je moja hlavná oblasť výskumu, sú prekvapivo pestré, pretože zasahujú do takmer všetkých matematických disciplín: od štatistiky a pravdepodobnosti, cez kombinatoriku, teóriu grafov, analýzu, lineárnu algebru, teóriu matíc, až po numerickú matematiku. Dnes sa mi pri písaní článku z tejto oblasti dokonca vyskytlo jednoduché tvrdenie z klasickej rovinnej geometrie; formulujme si ho ako úlohu.

Majme päť priamok p₁, p₂, q₁, q₂, q₃, ako je znázornené na obrázku, pričom priamky q₁, q₂, q₃ sú rovnobežné. Označme ako A_ij prienik priamok p_i a q_j. Dokážte, že súčet obsahov trojuholníkov A₁₁A₁₂A₂₃ a A₁₂A₁₃A₂₁ je rovný obsahu trojuholníka A₁₁A₁₃A₂₂.

Koľko matematikov, toľko dôkazov

Nasledovná jednoduchá, ale celkom pekná dôkazová úloha sa nám objavila pri písaní článku o optimálnom navrhovaní experimentov pre náhodné procesy. Spomenuli sme ju viacerým kolegom a každý prišiel po nejakom čase so svojim vlastným dôkazom. Som zvedavý, koľko rôznych dôkazov sa podarí nájsť Vám.

Ukážte, že ak hladká funkcia f:R→R spĺňa rovnicu

pre všetky reálne čísla x a všetky kladné reálne čísla δ, potom je f kvadratická funkcia.

Kvadratickou funkciu rozumieme aj lineárnu a konštantnú funkciu (s niektorými koeficientmi nulovými). Ako obvykle, symbol f ' označuje deriváciu funkcie f.