23 októbra 2007

Lúč

Zo štyroch zrkadiel sme zostavili štvorcovú komoru a z rohu (0,0) sme v smere bodu (x,1) vyslali lúč (pozri obrázok). Koľkokrát sa tento lúč odrazí od stien komory kým nenarazí presne do niektorého z rohov?

Poznámka: Uvažujeme idealizovaný prípad, t.j. matematicky presný štvorec, nekonečne tenký lúč a dokonalé odrazy. Napríklad ak x=0,2, tak je počet odrazov 4, ak je x=0,75 tak je počet odrazov 5 a podobne. Úlohou je popísať čo najjednoduchší postup (vzorec, algoritmus), ktorým sa dá z x dospieť k počtu odrazov. Svoje riešenia tejto úlohy (aj iných úloh) môžete napísať do komentárov.

Poznámka 27.10.: Úlohu nám už vyriešila gurama (pozri komentáre).

3 komentáre:

gurama povedal(a)...

zdravim!
pekna uloha. ak bude x racionalne cislo, tak mi to vychadza tak, ze ho treba vyjadrit ako zlomok v zakladnom tvare a potom pocet odrazov dostaneme ako menovatel+citatel-2. otazka je, mozme zvolit x iracionalne? :-)

Radoslav Harman povedal(a)...

gurama výborne! Ak tu niekto bude mať záujem, môžeme mu to vysvetliť :-) Čo sa týka iracionálneho x, tak v tom prípade samozrejme lúč nikdy netrafí do rohu, takže povedzme, že tu je riešenie nekonečno.

Inak keď ma toto zadanie a veľmi jednoduché riešenie napadlo, tak mi to normálne zdvihlo náladu. Neskôr som však zistil, že takýto príkladík sa dá považovať len za triviálny úvod k veľmi komplikovanej a už dosť prepracovanej teórii "dynamických billiardov".

Radoslav Harman povedal(a)...

Keď už máme riešenie, tak ešte jedna poznámka. Nech N(x) znamená počet odrazov lúča pre racionálne x a N(x)=0 pre iracionálne x. Táto funkcia je nespojitá v každom bode intervalu (0,1); pozri napr. pojem "Dirichletova funkcia". Človek by povedal, že také matematické monštrá ako všade nespojitá funkcia, nemajú nijakú fyzikálnu obdobu, ale naša funkcia N napriek tomu popisuje fyzikálny experiment, hoci samozrejme idealizovaný.

Inak aká by bola množina bodov spojitosti funkcie N, ak by sme brali N(x)=nekonečno v každom iracionálnom x?