Tanec molekúl

Keď som na Akadémii Trojstenu spomínal súvis Gaussovej krivky a objemov rezov mnohorozmerných kociek, napadlo ma, že by som rád vedel ako asi vyzerá "typická" množina ich vrcholov v dvojrozmernej projekcii. Včera večer som si teda v rámci oddychu napísal jednoduchý program, ktorý zobrazuje dvojrozmerné súradnice vrcholov pomaly rotujúcej mnohorozmernej kocky s farbami určenými súradnicami v ďalších troch rozmeroch.

Najprv som si myslel, že pre Vás vyrobím pomocou môjho programíku video, ale to by bolo nutne krátke. Rozhodol som sa preto dať Vám k dispozícii priamo zdrojový kód programu; stačí, keď si ho prekopírujete do R-ka a spustíte. Takto sa s ním môžete zabávať, vylepšiť ho podľa vlastných predstáv.

Prednáška na Akadémii Trojstenu

Ďakujem všetkým, ktorí ste sa zúčastnili mojej prednášky na Akadémii Trojstenu! Slidy k mojej tohtoročnej prednáške nájdete tu a slidy k mojej prednáške v roku 2007 nájdete tu. Boužiaľ, z prednášky nie je záznam a slidy sú len veľmi stručným náznakom toho o čom som rozprával, ale nevadí. Ak máte akékoľvek otázky, rád Vám na ne odpoviem.

Pôvodný text: Tento piatok (10.12.2010) bude na našej fakulte Akadémia Trojstenu; program si môžete pozrieť tu. Ak ste si klikli na odkaz, asi ste si všimli, že jednu prednášku mám ja. Trochu ma mrzí, že paralelne bude mať veľmi atraktívnu prezentáciu misof, pretože tú som si chcel pozrieť aj ja a to mi asi teraz nedovolia :). Predpokladám tiež, že o moju prednášku o Gaussovej krivke až taký veľký záujem nebude, takže ak ste sa aj na toto podujatie neregistrovali, ku mne do B-čka sa o 11:15 určite zmestíte...

Náhodný rez kocky

Zvolíme náhodne rovinu prechádzajúcu ťažiskom kocky ABCDEFGH.  S akou pravdepodobnosťou bude rez kocky ABCDEFGH touto rovinou šesťuholník?

Predpokladáme, že rovinu zo zadania volíme "rovnomerne" náhodne, čiže všetky orientácie tejto roviny sú rovnako pravdepodobné, alebo ešte presnejšie: jednotkový normálový vektor tejto roviny má rovnomerné rozdelenie na povrchu jednotkovej gule.

Poznámka 4.12.: Vídím, že táto úloha nikoho nezaujala, avšak ja osobne mám celkom radosť, že ma napadla. Na prvý pohľad sa totiž zdá ťažká, no v skutočnosti sa dá pomocou istých trikov z teórie pravdepodobnosti vyriešiť na niekoľko riadkov.

Tri trojuholníky

Problémy optimálneho navrhovania experimentov, čo je moja hlavná oblasť výskumu, sú prekvapivo pestré, pretože zasahujú do takmer všetkých matematických disciplín: od štatistiky a pravdepodobnosti, cez kombinatoriku, teóriu grafov, analýzu, lineárnu algebru, teóriu matíc, až po numerickú matematiku. Dnes sa mi pri písaní článku z tejto oblasti dokonca vyskytlo jednoduché tvrdenie z klasickej rovinnej geometrie; formulujme si ho ako úlohu.

Majme päť priamok p₁, p₂, q₁, q₂, q₃, ako je znázornené na obrázku, pričom priamky q₁, q₂, q₃ sú rovnobežné. Označme ako A_ij prienik priamok p_i a q_j. Dokážte, že súčet obsahov trojuholníkov A₁₁A₁₂A₂₃ a A₁₂A₁₃A₂₁ je rovný obsahu trojuholníka A₁₁A₁₃A₂₂.

Koľko matematikov, toľko dôkazov

Nasledovná jednoduchá, ale celkom pekná dôkazová úloha sa nám objavila pri písaní článku o optimálnom navrhovaní experimentov pre náhodné procesy. Spomenuli sme ju viacerým kolegom a každý prišiel po nejakom čase so svojim vlastným dôkazom. Som zvedavý, koľko rôznych dôkazov sa podarí nájsť Vám.

Ukážte, že ak hladká funkcia f:R→R spĺňa rovnicu

pre všetky reálne čísla x a všetky kladné reálne čísla δ, potom je f kvadratická funkcia.

Kvadratickou funkciu rozumieme aj lineárnu a konštantnú funkciu (s niektorými koeficientmi nulovými). Ako obvykle, symbol f ' označuje deriváciu funkcie f.

Konvexné smery

Nech f je reálna funkcia definovaná na množine všetkých dvojíc reálnych čísiel. Smerom nazveme každý vektor (u,v) jednotkovej dĺžky.  Budeme hovoriť, že funkcia f je konvexná v smere (u,v), ak pre každý bod (a,b) je konvexnou funkcia priradzujúca číslu α číslo f(a+αu,b+αv). Je zrejmé, že ak je funkcia f konvexná vo všetkých smeroch, tak je sama konvexná. Konvexnosť v jednom smere však samozrejme nestačí; napríklad nekonvexná funkcia f(x,y)=x²+y³ je konvexná v smere (1,0):

Stačí na zabezpečenie konvexnosti funkcie f konvexnosť v dvoch rôznych smeroch? V troch? ...

Aké je maximálne prirodzené číslo n, pre ktoré existuje nekonvexná reálna funkcia f  dvoch reálnych premenných, ktorá je konvexná v n rôznych smeroch (u₁,v₁), ... ,(u_n,v_n)?

Hlavolam z výstavy

Dnes som sa v rámci nedeľného oddychu vybral s manželkou a dcérkou do Slovenského národného múzea na výstavu "Matematika pre potešenie". Aj keď na prvý pohľad pôsobí táto výstavka pomerne chudobne, dá na nej celkom dobre zabaviť, čo platí dvojnásobne, ak máte so sebou dieťa :). Väčšina exponátov je založená na dobre známych princípoch, napríklad Galtonova skrinka, Buffonova ihla, Kreslenie grafu jedným ťahom, Möbiusov list, Tangram a podobne. Mňa najviac zaujalo vedro s mydlovou vodou, do ktorého bolo možné ponárať drôtené modely telies (napríklad kocka, pravidelný simplex, štvorboký ihlan) a sledovať tvar vzniknutých membrán, podobne ako v jednom našom staršom príspevku.

Výstavka obsahuje aj niekoľko hlavolamov, z ktorých sa mi jeden nepodarilo vyriešiť, hoci som nad ním strávil možno aj štvrť hodiny. (Trochu ma to rozladilo, pretože riešenie je určite veľmi jednoduché. :) Vy však možno budete úspešnejší ...

Poskladajte štvorec rozmerov 6x6 z ôsmich kúskov znázornených na nasledovnom obrázku.

How long will it take Marie to saw a board into 3 pieces?

K napísaniu tejto rekreačnej úlohy ma inšpiroval príspevok Math teacher fail na blogu TYWKIWDBI (credits: Lenka Filová). Za normálnych okolností, t.j. ak pod slovom "board" rozumieme obdĺžnikovú dosku, je odpoveď učiteľa nesprávna. Ale... :)

Márii trvá 1 minútu, kým rozpíli drevený útvar konštantnej hrúbky na 2 rovnaké časti. Ako dlho bude trvať Márii, kým rozpíli tento útvar na 3 rovnaké časti? Aké sú všetky možné "správne" odpovede v závislosti od tvaru tohto útvaru?

Uvažujeme len také útvary, ktoré je možné rozpíliť na dve aj na tri rovnaké časti a tiež predpokladáme, že Mária píli daný útvar najkratším možným rezom (alebo najkratším možným súčtom dĺžok rezov), po ktorom sa rozpadne na dve, resp. tri rovnaké časti. Na to, aby sme dve časti považovali za "rovnaké", nestačí, aby boli "zrkadlovo rovnaké" (povedzme, že strany dosky sú ofarbené rôznymi farbami, čo umožní rozlíšiť zrkadlovú podobnosť od skutočnej zhodnosti).