Osobnosti slovenskej matematiky: Pavel Brunovský

(Po kliknutí na obrázok sa oznam zobrazí v plnom rozlíšení.)

Mnohí z nás si neuvedomujú, že viacerí slovenskí matematici sú medzinárodne uznávanými osobnosťami a ich výsledky sa stali v matematike pojmami. Rovnako ako národ by mal poznať svoju históriu, tak aj my, študenti matematiky a matematici ako takí, by sme mali poznať, čo svetu dala slovenská matematika.

Cyklus prednášok Osobnosti slovenskej matematiky je organizovaný študentmi Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave. Jej cieľom je priblížiť študentom ako aj odbornej verejnosti najväčšie prínosy slovenských matematikov. Každá prednáška je zameraná na dielo jednej osobnosti slovenskej matematiky, ktorá prednášku aj vedie. Dôvodom takej to formy je možnosť týchto ľudí spoznať aj osobne. Prednášky majú populárnu formu a sú koncipované tak, aby im porozumeli aj študenti a širšia odborná verejnosť.

Študenti Fakulty matematiky, fyziky a informatiky UK

Tip

V rámci svojej prípravy na počítačovú štatistiku som práve dočítal veľmi poučnú pedagogickú knihu "Teaching statistics - a bag of tricks" od Andrewa Gelmana a Deborah Nolanovej. Z tejto a aj z iných kníh týkajúcich sa vyučovania som si uvedomil, že pre kvalitnú prednášku je najdôležitejší eminentný záujem na tom, aby si študenti z prednášky odniesli čo najviac a hlavne veľmi dôkladná pravidelná príprava. Keď som si pomyslel na niektorých vyučujúcich, ktorých som osobne poznal, musel som sa len trpko pousmiať. (Hovorím však skôr o výnimkách, aspoň teda u nás na matfyze.) Ale nie o tom som chcel písať. Jedna aktivita so študentami, ktorá sa v tejto knihe spomína, ma inšpirovala k nasledovnej úlohe:

Hodím súčasne dvadsiatimi jednoeurovými mincami. Ak sa Vám podarí vopred uhádnuť, na koľkých z týchto mincí padne znak, tak Vám všetky mince, na ktorých padol znak, darujem, len si po ne musíte ku mne domov prísť. Ak by som predchádzajúce dve vety myslel vážne (čo nemyslím :-), aký počet padnutých znakov by ste si zvolili ako svoj tip?

Táto úloha je síce veľmi ľahká, ale ak by sa Vám zdala až triviálna, tak ste asi nevzali do úvahy všetky jej "praktické" aspekty.

Binárny kruh

Nasledovný problém je modifikáciou istej úlohy, ktorú vymyslel môj bývalý spolupracovník a v súčasnosti jeden z najbystrejších dôchodcov v širokom okolí, docent Juraj Pavlásek. O tejto úlohe sa neskôr ukázalo, že ju ľudia riešili už pred desiatkami rokov (samozrejme pod iným názvom), ale to nám nebráni vyskúšať si na nej naše kombinatorické, prípadne programátorské schopnosti.

Binárnym kruhom stupňa m nazveme reťazec 2^m núl a jednotiek zapísaný do kruhu, v ktorom je každý podreťazec dĺžky m iný (všetky podreťazce čítame v smere hodinových ručičiek) alebo, ekvivalentne, ktorý ako podreťazce obsahuje všetky binárne postupnosti dĺžky m. Nájdite binárny kruh pre čo najväčšie m.

Na obrázku je zakreslený jeden z viacerých možných binárnych kruhov stupňa 3, pretože ako podreťazce obsahuje samé rôzne trojice binárnych cifier: 111, 110, 101, 010, 100, 000, 001 a 011 (t.j. obsahuje všetky možné trojice binárnych cifier).

PS: Ak by som sa už najbližšie dni na blogu neozval, tak Vám všetkým želám príjemné veľkonočné sviatky.

Poznámka 14.4.: Pre tých, ktorých úloha zaujala, ale nevedia ako ju riešiť, mám pomôcku: hoci sa to možno nezdá, binárnych kruhov je pomerne veľa a pre stupne 4, prípadne aj 5, je možné nájsť aspoň jeden binárny kruh na počítači skúšaním náhodne vygenerovaných binárnych očíslovaní.

Dysonovo číslo

Pred niekoľkými dňami sa v The New York Times objavil obsiahly a zaujímavý článok o žijúcej legende teoretickej fyziky Freemanovi Dysonovi. Hoci samotný článok sa zameriava predovšetkým na Dysonove kontroverzné vyhlásenia týkajúce sa globálneho otepľovania, k napísaniu tohto blogového príspevku ma vyprovokovala jedna nasledovná krátka pasáž, ktorá s globálnym otepľovaním nemá nič spoločné:

... A group of scientists will be sitting around the cafeteria, and one will idly wonder if there is an integer where, if you take its last digit and move it to the front, turning, say, 112 to 211, it’s possible to exactly double the value. Dyson will immediately say, "Oh, that’s not difficult," allow two short beats to pass and then add, "but of course the smallest such number is 18 digits long." When this happened one day at lunch, William Press remembers, “the table fell silent; nobody had the slightest idea how Freeman could have known such a fact or, even more terrifying, could have derived it in his head in about two seconds."

Vedeli by ste toto číslo nájsť aj Vy?

Hlasujte za najkrajšiu úlohu!

Hlasovanie o najkrajšiu úlohu je už ukončené; pozri výsledky. Nasleduje pôvodný text príspevku.

Nadišiel čas aby ste spomedzi našich 12 súťažných úloh vybrali tú najkrajšiu. Po istom čase zvažovania som sa rozhodol, že Vaše hlasovanie urobím prostredníctvom e-mailu. Tým sa vyrieši viacero problémov, napríklad sa zamedzí možnosti anketového vandalizmu, duplicitného hlasovania a okruh hlasujúcich sa zúži len na tých, ktorí majú o naše úlohy skutočný záujem, čo dáva záruku zodpovedného posudzovania. Naviac, od každého hlasujúceho môžem e-mailom dostať oveľa viac "bitov" informácie ako z bežnej ankety, ktorú poskytuje blogspot.

Ak Vás teda naša súťaž zaujala, pošlite mi prosím e-mail s usporiadaným zoznamom maximálne 8 úloh, ktoré sú podľa Vás z uverejnenej dvanástky najlepšie. Prvá úloha v zozname dostane od Vás 10 bodov, druhá 8 bodov, tretia 6 bodov, štvrtá 5 bodov, ..., až maximálne ôsma 1 bod, presne tak ako na pretekoch F1. Úlohy, ktoré nebudú vo Vašom zozname získavajú 0 bodov. Ten, koho úloha od Vás získa najvyšší bodový priemer*, stane sa víťazom našej súťaže (a odo mňa dostane knihou).

Samozrejme, nikto okrem mňa sa nedozvie ako ste ktorú úlohu zaradili; zverejním len celkové počty bodov prvých troch úloh. Hlasovanie ukončíme 30.5.2009, prípadne akonáhle dostanem 18 hlasovacích e-mailov (ako veľkých cien v F1-tke; takýto záujem o hlasovanie však nepredpokladám :-)

*Ak si Ty sám/sama autorom/autorkou niektorej z úloh, môžeš samozrejme hlasovať tiež. Po počiatočných pochybnostiach ohľadom objektívnosti ohodnotenia svojej vlastnej úlohy som sa rozhodol pristúpiť na Peťov návrh, totiž že autor z hlasovania vynechá svoju vlastnú úlohu, ale aby nebol znevýhodnený samotným faktom, že hlasoval, celkové hodnotenie úlohy budem počítať ako priemerné hodnotenie danej úlohy neautormi.

PS: Pre jednoduchosť uvediem kompletný zoznam úloh, ktorý si môžete napríklad skopírovať do vhodného programu a tam myškou usporiadať:

• Sto väzňov


• Zapadajúce množiny


• Problém lámání stébla


• Dve fľaše


• Prieskumná expedícia


• Ako si zašnurovať topánky


• Všetky uhly sú rovnaké


• Stěhovací problém


• Mount & Blade


• Mravce na tyči


• Pohľady


• Biliardové gule

Teším sa na Vaše hlasy!

Zauzlený problém

V prvom rade by som chcel poďakovať všetkým, ktorí sa zúčastnili nedávnej ankety. Jej výsledky nebudem podrobnejšie rozoberať, avšak musím poznamenať, že ma povzbudili a dozvedel som sa z nich dôležité informácie ohľadom ďalšieho smerovania blogu. Poďme ale k úlohe, ktorá sa vykľula z mojej sobotňajšej zábavy s kreslením v R-ku.


Na obrázku vyššie (kliknutím sa zväčší) máme zobrazené slučky z gumy. Ktoré z nich sú rovnaké v tom zmysle, že je ich možné dostať jednu z druhej len naťahovaním a deformovaním, nie však pretrhnutím a zliepaním?

Biliardové gule (súťažná úloha č.12)

Poslednú, dvanástu úlohu do našej súťaže vymyslel môj študent a súčasne spolupracovník Vladimír Lacko:

Na biliardovom stole v dokonalom svete matematických modelov máme položené tri gule A, B a C, všetky s polomerom r. Stredy gulí B a C sú navzájom vzdialené d cm a stred gule A má vzdialenosť h cm od priamky p spájajúcej stredy gulí B a C (pozri obrázok). Do gule A udrieme tágom tak, aby sa pohybovala rovnobežne s priamkou p. Aká môže byť maximálna vzdialenosť h, aby guľa A odrazila guľu B tak, že guľa B (bez odrazu od mantinela biliardového stola) následne narazí do gule C?

Onedlho napíšem príspevok ohľadom spôsobu určenia víťaza súťaže; tipnúť si víťaza netrúfam, pretože sme na moje veľké potešenie dostali množstvo naozaj super úloh. :-)

Pohľady (súťažná úloha č.11)

Jedenástu súťažnú úlohu nám poslal Jozef Gábik, študent 4. ročníka FMFI UK:

V kruhu je rozostavených n ľudí. Na povel si každý z nich úplne náhodne zvolí jedného človeka, ktorému sa pozrie do očí. Označme ako p(n) pravdepodobnosť, že sa nejaké pohľady stretnú. Aká je limita pravdepodobností p(n) pre n idúce do nekonečna? (T.j. aká je pravdepodobnosť p(n) pre "veľmi veľký" počet ľudí n?)

Táto pekná úloha je Jozefov vlastný nápad; inšpiráciou mu bola skutočná hra skautov v jeho zbore. Vzorové riešenie nemáme, takže som zvedavý, kto z Vás vypočíta správny výsledok ako prvý.